数学高考综合能力题选讲
26
建构数列模型的应用性问?/p>
100080
北京中国人民大学附中
梁丽?/p>
题型预测
数列作为特殊的函数,
在高中数学中占有相当重要的位置,
涉及实际应用的问题广泛而多样,
如:
增长率、银行信贷等.解答这一类问题,要充分应用观察、归纳、猜想的手段,注意其间的递推关系?/p>
建立出等差、等比、或递推数列的模型.
建立数列的递推关系来解题将有可能成为高考命题革新的一个方向.
范例选讲
?/p>
1
.某县位于沙漠边缘,当地居民与风沙进行着艰苦的斗争,?/p>
2000
年底全县?/p>
绿地已占全县总面积的
30%
.从
2001
年起,市政府决定加大植树造林、开辟绿地的力度?/p>
则每年有
16%
的原沙漠地带变成了绿地,但同时,原有绿地?/p>
4%
又被侵蚀,变成了沙漠?/p>
(Ⅰ?/p>
在这种政策之下,是否有可能在将来的某一年,全县绿地面积超过
80%
?/p>
(Ⅱ?/p>
至少在多少年底,该县的绿地面积才能超过全县总面积的
60%
?/p>
讲解
:本题为实际问题,首先应该读懂题意,搞清研究对象,然后把它转化为数学?/p>
题.不难看出,这是一道数列型应用问题.因此,我们可以设:
全县面积?/p>
1
,记
2000
年底的全县绿地面积占总面积的百分比为
0
a
,经?/p>
n
年后?/p>
县绿地面积占总面积的百分比为
n
a
,则我们所要回答的问题就是?/p>
(Ⅰ)是否存在自然数
n
,使?/p>
n
a
>80%
?/p>
(Ⅱ)求使得
n
a
>60%
成立的最小的自然?/p>
n
.
为了解决这些问题?/p>
我们可以根据题意?/p>
列出数列
?/p>
?/p>
n
a
的相邻项之间的函数关系,
?/p>
后由此递推公式出发,设法求出这个数列的通项公式?/p>
由题可知?/p>
0
3
30%
10
a
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
25
4
5
4
1
%
16
%
4
1
1
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
n
n
n
n
a
a
a
a
所以,?/p>
1
n
?/p>
时,
25
4
5
4
1
?/p>
?/p>
?/p>
n
n
a
a
,两式作差得?/p>
?/p>
?/p>
1
1
5
4
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
n
n
n
n
a
a
a
a
?/p>
1
0
0
0
0
4
4
4
1
1
5
25
25
5
10
a
a
a
a
a
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
所以,数列
?/p>
?/p>
1
n
n
a
a
?/p>
?/p>
是以
1
0
1
10
a
a
?/p>
?
为首项,?/p>
5
4
为公比的等比数列?/p>