第二十二?/p>
曲面积分
§
3
高斯公式与斯托克斯公?/p>
授课章节?/p>
ch22---§
3-
高斯公式与斯托克斯公式(
P290--297
?/p>
教学目的?/p>
1
)掌握高斯公式与斯托克斯公式的应?/p>
教学重点:定?/p>
22.3,
定理
22.4
教学难点:定?/p>
22.3,
定理
22.4
教学方法:讲练结合.
教学程序?/p>
1
.引?/p>
2
.定?/p>
22.3,
定理
22.4
3
.例题及部分习题练习
4
.作业.
P295
习题
1(1
?/p>
3),2,3(2),4(1),5(1)
?/p>
一
高斯公式
格林公式建立了沿封闭曲线的曲线积分与二重积分的关系,沿空间闭曲面的曲?/p>
积分和三重积分之间也有类似的关系,这就是本段所要讨论的高斯?/p>
Gauss
)公
式?/p>
定理
22.3
设空间区?/p>
V
由分片光滑的双侧封闭曲面
S
围成。若函数
P
?/p>
Q
?/p>
R
?/p>
V
上连续,且有一阶连续偏导数,则
?/p>
∂P∂Q∂R
?/p>
⎰⎰?/p>
∂x+∂y+∂z
⎪⎪
dxdydz
?/p>
V
?/p>
?/p>
?/p>
1
?/p>
=Pdydz+Qdzdx+Rdxdy
S
其中
S
取外侧。(
1
)式称为高斯公式?/p>
?/p>
下面只证
∂Rdxdydz=Rdxdy.
⎰⎰?/p>
∂zVS
读者可类似地证?/p>
∂Pdxdydz=Pdydz,
⎰⎰?/p>
∂xVS
∂Qdxdydz=Qdzdx.
⎰⎰?/p>
∂yV
S
这些结果相加便得到了高斯公式?/p>
1
)?/p>
先设
V
是一?/p>
xy
型区域,即其边界曲面
S
由曲?/p>
①若
S
为封闭曲面,则曲面积分的积分号用表示?/p>
S2:z=z2(x,y),(x,y)
?/p>
Dxy,
S1:z=z1(x,y),(x,y)
?/p>
Dxy
及以垂直?/p>
Dxy
的边界的柱面
S3
组成(图
22
?/p>
6
),其中
z1(x,y)≤z2(x,y)
。于?/p>
按三重积分的计算方法?/p>