- 1 -
一、等差数?/p>
1.
等差数列的定义:
d
a
a
n
n
?/p>
?/p>
?/p>
1
?/p>
d
为常数)
?/p>
2
?/p>
n
?/p>
?/p>
2
.等差数列通项公式?/p>
*
1
1
(
1)
(
)
n
a
a
n
d
dn
a
d
n
N
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
首项
:
1
a
,公?/p>
:d
,末?/p>
:
n
a
推广?/p>
d
m
n
a
a
m
n
)
(
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
从?/p>
m
n
a
a
d
m
n
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
3
.等差中?/p>
?/p>
1
)如?/p>
a
?/p>
A
?/p>
b
成等差数列,那么
A
叫做
a
?/p>
b
的等差中项.即:
2
b
a
A
?/p>
?
?/p>
b
a
A
?/p>
?/p>
2
?/p>
2
)等差中项:数列
?/p>
?/p>
n
a
是等差数?/p>
)
2
(
2
1
1
-
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
n
a
a
a
n
n
n
2
1
2
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
n
n
n
a
a
a
4
?/p>
等差数列的前
n
项和公式?/p>
1
(
)
2
n
n
n
a
a
S
?/p>
?
1
(
1)
2
n
n
na
d
?/p>
?/p>
?/p>
2
1
1
(
)
2
2
d
n
a
d
n
?/p>
?/p>
?/p>
2
An
Bn
?/p>
?/p>
(其?/p>
A
?/p>
B
是常数,所以当
d
?/p>
0
时,
S
n
是关?/p>
n
的二次式且常数项?/p>
0
?/p>
特别地,当项数为奇数
2
1
n
?/p>
时,
1
n
a
?/p>
是项数为
2n+1
的等差数列的中间?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
n
n
n
n
a
a
S
n
a
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?
?
?/p>
(项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项?/p>
5
?/p>
等差数列的判定方?/p>
?/p>
1
?/p>
定义法:?/p>
d
a
a
n
n
?/p>
?/p>
?/p>
1
?/p>
d
a
a
n
n
?/p>
?/p>
?/p>
1
(
常数
?
?/p>
N
n
)
?/p>
?/p>
?/p>
n
a
是等差数列.
?/p>
2
?/p>
等差中项:数?/p>
?/p>
?/p>
n
a
是等差数?/p>
)
2
(
2
1
1
-
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
n
a
a
a
n
n
n
2
1
2
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
n
n
n
a
a
a
?/p>
⑶数?/p>
?/p>
?/p>
n
a
是等差数?/p>
?/p>
b
kn
a
n
?/p>
?/p>
(其?/p>
b
k
,
是常数)?/p>
?/p>
4
)数?/p>
?/p>
?/p>
n
a
是等差数?/p>
?/p>
2
n
S
An
Bn
?/p>
?/p>
,
(其?/p>
A
?/p>
B
是常数)?/p>
6
?/p>
等差数列的证明方?/p>
定义法:?/p>
d
a
a
n
n
?/p>
?/p>
?/p>
1
?/p>
d
a
a
n
n
?/p>
?/p>
?/p>
1
(
常数
?
?/p>
N
n
)
?/p>
?/p>
?/p>
n
a
是等差数列.
7.
提醒
?/p>
?/p>
1
?/p>
等差数列的通项公式及前
n
和公式中,涉及到
5
个元素:
1
a
?/p>
d
?/p>
n
?/p>
n
a
?/p>
n
S
,其?/p>
1
a
?/p>
d
称作?/p>
基本元素。只要已知这
5
个元素中的任?/p>
3
个,便可求出其余
2
个,即知
3
?/p>
2
?/p>
?/p>
2
)设项技巧:
①一般可设通项
1
(
1)
n
a
a
n
d
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
奇数个数成等差,可设为…,
2
,
,
,
,
2
a
d
a
d
a
a
d
a
d
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
…(公差?/p>
d
?/p>
?/p>
?/p>
偶数个数成等差,可设为…,
3
,
,
,
3
a
d
a
d
a
d
a
d
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
,
…(
注意;公差为
2
d
?/p>
8..
等差数列的性质?/p>
?/p>
1
)当公差
0
d
?/p>
时,
等差数列的通项公式
1
1
(
1)
n
a
a
n
d
dn
a
d
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
是关?/p>
n
的一次函数,且斜率为公差
d
?/p>
?/p>
n
?/p>
2
1
1
(
1)
(
)
2
2
2
n
n
n
d
d
S
na
d
n
a
n
?/p>
?/p>
?
?/p>
?/p>
?/p>
是关?/p>
n
的二次函数且常数项为
0.
?/p>
2
)若公差
0
d
?/p>
,则为递增等差数列,若公差
0
d
?/p>
,则为递减等差数列,若公差
0
d
?/p>
,则为常数列?/p>
?/p>
3
)当
m
n
p
q
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
,
则有
q
p
n
m
a
a
a
a
?/p>
?/p>
?/p>
,特别地,当
2
m
n
p
?/p>
?/p>
时,则有
2
m
n
p
a
a
a
?/p>
?/p>
.
注:
1
2
1
3
2
n
n
n
a
a
a
a
a
a
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>