第五?/p>
平面向量
5.3
平面向量的数量积
?
1
.向量的夹角
已知两个非零向量
a
?/p>
b
,作
OA
?/p>
?/p>
a
?/p>
OB
?
?/p>
b
,则?/p>
AOB
就是向量
a
?/p>
b
的夹角,向量夹角?/p>
范围是:
[0
?/p>
π
]
?/p>
2
.平面向量的数量?/p>
定义
设两个非零向?/p>
a
?/p>
b
的夹角为
θ
,则数量
|
a
||
b
|·cos
θ
叫做
a
?/p>
b
的数量积,记?/p>
a
·
b
投影
|
a
|cos
θ
叫做向量
a
?/p>
b
方向上的投影?/p>
|
b
|cos
θ
叫做向量
b
?/p>
a
方向上的投影
几何意义
数量?/p>
a
·
b
等于
a
的长?/p>
|
a
|
?/p>
b
?/p>
a
的方向上的投?/p>
|
b
|cos
θ
?/p>
乘积
3.
平面向量数量积的性质
?/p>
a
?/p>
b
都是非零向量?/p>
e
是单位向量,
θ
?/p>
a
?/p>
b
(
?/p>
e
)
的夹角.?/p>
(1)
e
·
a
?/p>
a
·
e
?/p>
|
a
|cos
θ
.
(2)
a
?/p>
b
?/p>
a
·
b
?/p>
0.
(3)
?/p>
a
?/p>
b
同向时,
a
·
b
?/p>
|
a
||
b
|
?/p>
?/p>
a
?/p>
b
反向时,
a
·
b
=-
|
a
||
b
|.
特别地,
a
·
a
?/p>
|
a
|
2
?/p>
|
a
|
?/p>
a
·
a
.
(4)cos
θ
?/p>
a
·
b
|
a
||
b
|
.
(5)|
a
·
b
|≤|
a
||
b
|.
4
.平面向量数量积满足的运算律
(1)
a·b
?/p>
b·a
?/p>
(2)(
λ
a
)·
b
?/p>
λ
(
a·b
)
?/p>
a
·(
λ
b
)(
λ
为实?/p>
)
?/p>
(3)(
a
?/p>
b
)·
c
?/p>
a·c
?/p>
b·c
.
5
.平面向量数量积有关性质的坐标表?/p>
设向?/p>
a
?/p>
(
x
1
?/p>
y
1
)
?/p>
b
?/p>
(
x
2
?/p>
y
2
)
,则
a·b
?/p>
x
1
x
2
?/p>
y
1
y
2
,由此得?/p>
(1)
?/p>
a
?/p>
(
x
?/p>
y
)
,则
|
a
|
2
?/p>
x
2
?/p>
y
2
?/p>
|
a
|
?/p>
x
2
?/p>
y
2
.