1
解析几何中的定值定点问题(一?/p>
一、定点问?/p>
【例
1
?/p>
.已知椭?/p>
C
?/p>
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
的离心率?/p>
3
2
,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆
与直?/p>
2
0
x
y
?/p>
?/p>
?/p>
相切?/p>
⑴求椭圆
C
的方程;
⑵设
(4,
0)
P
?/p>
M
?/p>
N
是椭?/p>
C
上关?/p>
x
轴对称的任意两个不同的点,连?/p>
PN
交椭?/p>
C
于另一?/p>
E
,求
直线
PN
的斜率的取值范围;
⑶在⑵的条件下,证明直线
ME
?/p>
x
轴相交于定点?/p>
解:⑴由题意?/p>
3
2
c
e
a
?/p>
?/p>
,所?/p>
2
2
2
2
2
2
3
4
c
a
b
e
a
a
?/p>
?/p>
?/p>
?
,即
2
2
4
a
b
?/p>
,又因为
2
1
1
1
b
?/p>
?/p>
?/p>
,所?/p>
2
2
4,
1
a
b
?/p>
?/p>
,故椭圆
C
的方程为
C
?/p>
2
2
1
4
x
y
?/p>
?/p>
?/p>
⑵由题意知直?/p>
PN
的斜率存在,设直?/p>
PN
的方程为
(
4)
y
k
x
?/p>
?/p>
?/p>
联立
2
2
(
4)
1
4
y
k
x
x
y
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
消去
y
得:
2
2
2
2
(4
1)
32
4(16
1)
0
k
x
k
x
k
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
2
2
2
2
(32
)
4(4
1)(64
4)
0
k
k
k
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
2
12
1
0
k
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
0
k
?/p>
不合题意?/p>
所以直?/p>
PN
的斜率的取值范围是
3
0
6
k
?
?/p>
?/p>
?/p>
3
0
6
k
?/p>
?
?/p>
⑶设?/p>
1
1
2
2
(
,
),
(
,
)
N
x
y
E
x
y
,则
1
1
(
,
)
M
x
y
?/p>
,直?/p>
ME
的方程为
2
1
2
2
2
1
(
)
y
y
y
y
x
x
x
x
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
0
y
?/p>
,得
2
2
1
2
2
1
(
)
y
x
x
x
x
y
y
?/p>
?/p>
?
?/p>
,将
1
1
2
2
(
4),
(
4)
y
k
x
y
k
x
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
代入整理,得
1
2
1
2
1
2
2
4(
)
8
x
x
x
x
x
x
x
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
由得?/p>
2
2
1
2
1
2
2
2
32
64
4
,
4
1
4
1
k
k
x
x
x
x
k
k
?/p>
?/p>
?/p>
?
?/p>
?/p>
代入②整理,?/p>
1
x
?/p>
?/p>
所以直?/p>
ME
?/p>
x
轴相交于定点
(1,
0)
?/p>
【针对性练?/p>
1
?/p>
在直角坐标系
xOy
中,?/p>
M
到点
?/p>
?/p>
1
3
,
0
F
?/p>
?/p>
?
?
2
3
,
0
F
的距离之和是
4
,点
M
的轨
迹是
C
?/p>
x
轴的负半轴交于点
A
,不过点
A
的直?/p>
:
l
y
kx
b
?/p>
?/p>
与轨?/p>
C
交于不同的两?/p>
P
?/p>
Q
?/p>
⑴求轨迹
C
的方程;
⑵当
0
AP
AQ
?/p>
?/p>
时,?/p>
k
?/p>
b
的关系,并证明直?/p>
l
过定点.
解:
⑴∵?/p>
M
?/p>
?/p>
?/p>
3
,
0
?/p>
?/p>
?/p>
?
3
,
0
的距离之和是
4
?/p>
?/p>
M
的轨?/p>
C
是长轴为
4
?/p>
焦点?/p>
x
轴上焦中?/p>
2
3
的椭圆,其方程为
2
2
1
4
x
y
?/p>
?/p>
?/p>