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高中物理中微积分思想
伟大的科学家牛顿,有很多伟大的成就,建立了经典物理理论,比如:牛顿三大定律,万有引力定律
等;另外,在数学上也有伟大的成就,创立了
微积?/p>
?/p>
微积分(
Calculus
)是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。微积分是建立在实数?/p>
函数和极限的基础上的。微积分最重要的思想就是?/p>
"
微元
"
?/p>
"
无限逼近
"
,好像一个事物始终在变化你很
难研究,但通过微元分割成一小块一小块,那就可以认为是常量处理,最终加起来就行?/p>
微积分学是微分学和积分学的总称?/p>
它是一种数学思想?/p>
‘无限细分’就是微分,
‘无限求和’就?/p>
积分。无限就是极限,极限的思想是微积分的基础,它是用一种运动的思想看待问题。微积分堪称是人?/p>
智慧最伟大的成就之一。在高中物理中,微积分思想多次发挥了作用?/p>
1
、解决变速直线运动位移问?/p>
匀速直线运动,位移和速度之间的关?/p>
x=vt
;但变速直线运动,那么物体的位移如何求解呢?/p>
?/p>
1
?/p>
汽车?/p>
10m/s
的速度行驶?/p>
到某处需要减速停车,
设汽车以等减?/p>
2m/s
2
刹车?/p>
问从开始刹车到停车?/p>
汽车走了多少公里?/p>
?/p>
解析
?/p>
现在我们知道,根据匀减速直线运动速度位移公式
at
v
v
?/p>
?/p>
0
2
0
2
1
at
t
v
x
?
?/p>
就可以求得汽?/p>
走了
0.025
公里?/p>
但是,高中所谓的的匀变速直线运动的位移公式是怎么来的,其实就是应用了微积分思想:把物体?/p>
动的时间无限细分。在每一份时间微元内,速度的变化量很小,可以忽略这种微小变化,认为物体在做匀
速直线运动,因此根据已有知识位移可求;接下来把所有时间内的位移相加,即“无限求和?/p>
,则总的?/p>
移就可以知道?/p>
现在我们明白?/p>
物体在变速直线运动时候的位移等于速度时间图像与时间轴所围图形的
“面
积?/p>
,即
2
0
2
1
at
t
v
x
?
?/p>
?/p>
?/p>
微积分解
?/p>
汽车在减速运动这段时间内速度随时间变化的关系
t
at
v
v
2
10
0
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
从开始刹车到停车
的时?/p>
t=5s
?/p>
所以汽车由刹车到停车行驶的位移
km
t
t
t
a
t
v
dt
at
v
dt
t
v
x
025
.
0
)
10
(
)
2
(
)
(
)
(
5
0
2
5
0
2
0
5
0
0
5
0
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?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
小结?/p>
此题是一个简单的匀变速直线运动求位移问题。对一般的变速直线运动,只要结合物理知识求速度
关于时间的函数,画出
v
?/p>
t
图像,找“面积”就可以。或者,利用定积分就可解?/p>
.
2
、解决变力做功问?/p>
恒力做功,我们可以利用公式直接求?/p>
Fs
W
?/p>
;但对于变力做功,我们如何求?/p>
呢?
?/p>
2
?/p>
如图所示,质量?/p>
m
的物体以恒定速率
v
沿半径为
R
的竖直圆轨道运动,已知物
体与竖直圆轨道间的摩擦因数为
?/p>
,求物体从轨道最低点运动到最高点的过程中,摩?
力做了多少功?/p>
【解析?/p>
物体沿竖直圆轨道从最低点匀速率运动到最高点的过程中,在不同位置与圆环间的正压力不同?/p>
故而摩擦力为一変力,本题不能简单的?/p>
s
F
W
?/p>
?/p>
来求?/p>
可由圆轨道的对称性,在圆轨道水平直径上、下各取两对称位?/p>
A
?/p>
B
?/p>
?/p>
OA
?/p>
OB
与水平直径的夹角?/p>
θ
。在
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
R
S
的足够短圆弧上,?/p>
S
可看
作直线,且摩擦力可视为恒力,则在
A
?/p>
B
两点附近的△
S
内,摩擦力所做的
功之和可表示为:
)
(
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
R
N
R
N
W
B
A
f
v
.
x
y
O
mg
mg
?/p>
?/p>
N
A
N
B
B
A
?/p>
?/p>
a=-2m/s
2
L
(弧长)
=α(
弧度
)x r(
半径
) (
弧度?/p>
)