高中数学竞赛平面几何讲座第二?/p>
巧添辅助妙解竞赛?/p>
在某些数学竞赛问题中
,
巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的内在联?/p>
,
通过?/p>
的有关性质找到解题途径
.
下面举例说明添置辅助圆解初中数学竞赛题的若干思路
.
1
挖掘隐含的辅助圆解题
有些问题的题设或图形本身隐含着“点共圆?/p>
,
此时若能把握问题提供的信?/p>
,
恰当补出辅助?/p>
,
并合理挖掘图形隐含的性质
,
就会使题设和结论的逻辑关系明朗?/p>
.
1.1
作出三角形的外接?/p>
?/p>
1
如图
1,
在△
ABC
?/p>
,
AB
?/p>
AC
,
D
是底?/p>
BC
上一?/p>
,
E
是线?/p>
AD
上一点且?/p>
BED
?/p>
2
?/p>
CED
?/p>
?/p>
A
.
求证?/p>
BD
?/p>
2
CD
.
分析:关键是寻求?/p>
BED
?/p>
2
?/p>
CED
与结论的联系
.
容易想到作∠
BED
的平分线
,
但因
BE
?/p>
ED
,
故不?/p>
直接证出
BD
?/p>
2
CD
.
若延?/p>
AD
交△
ABC
的外接圆
?/p>
F
,
则可?/p>
EB
?/p>
EF
,
从而获?/p>
.
证明?/p>
如图
1,
延长
AD
与△
ABC
的外接圆相交于点
F
,
连结
CF
?/p>
BF
,
则∠
BFA
?/p>
?/p>
BCA
=∠
ABC
=∠
AFC
,
即∠
BFD
=∠
CFD
.
?/p>
BF
:
CF
?/p>
BD
:
DC
.
又∠
BEF
=∠
BAC
,
?/p>
BFE
=∠
BCA
,
从而∠
FBE
=∠
ABC
=∠
ACB
=∠
BFE
.
?/p>
EB
?/p>
EF
.
作∠
BEF
的平分线?/p>
BF
?/p>
G
,
?/p>
BG
?/p>
GF
.
因∠
GEF
?/p>
?/p>
BEF
=∠
CEF
,
?/p>
GFE
=∠
CFE
,
故△
FEG
≌△
FEC
.
从?/p>
GF
?
FC
.
于是
,
BF
?/p>
2
CF
.
?/p>
BD
?/p>
2
CD
.
1.2
利用四点共圆