数学建模
数学建模
第十?/p>
插值与拟合方法建模
在生产实际中,常常要处理由实验或测量所得到的一批离散数据,插值与拟合方法就是要?/p>
过这些数据去确定某一类已经函数的参数,或寻求某个近似函数使之与已知数据有较高的拟合精
度。插值与拟合的方法很多,这里主要介绍线性插值方法、多项式插值方法和样条插值方法,?/p>
及最小二乘拟合方法在实际问题中的应用。相应的理论和算法是数值分析的内容,这里不作详?/p>
介绍,请参阅有关的书籍?/p>
§
1
数据插值方法及应用
在生产实践和科学研究中,常常有这样的问题:由实验或测量得到变量间的一批离散样点,
要求由此建立变量之间的函数关系或得到样点之外的数据。与此有关的一类问题是当原始数?
)
,
(
,
),
,
(
),
,
(
1
1
0
0
n
n
y
x
y
x
y
x
?/p>
精度较高?/p>
要求确定一个初等函?/p>
)
(
x
P
y
?/p>
(一般用多项式或分段
多项式函数)通过已知各数据点(节点)
,即
n
i
x
P
y
i
i
,
,
1
,
0
,
)
(
?/p>
?/p>
?/p>
,或要求得函数在另外一
些点(插值点)处的数值,这便是插值问题?/p>
1
、分段线性插?/p>
这是最通俗的一种方法,直观上就是将各数据点用折线连接起来。如?/p>
b
x
x
x
a
n
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
1
0
那么分段线性插值公式为
n
i
x
x
x
y
x
x
x
x
y
x
x
x
x
x
P
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
,
,
2
,
1
,
,
)
(
1
1
1
1
1
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
可以证明,当分点足够细时,分段线性插值是收敛的。其缺点是不能形成一条光滑曲线?/p>
?/p>
1
、已知欧洲一个国家的地图,为了算出它的国土面积,对地图作了如下测量:以由西向东方
向为
x
轴,由南向北方向?/p>
y
轴,选择方便的原点,并将从最西边界点到最东边界点?/p>
x
轴上?/p>
区间适当的分为若干段,在每个分点?/p>
y
方向测出南边界点和北边界点的
y
坐标
y1
?/p>
y2
,这?/p>
就得到下表的数据(单位:
mm
?/p>
?/p>
x
7.0
10.5
13.0
17.5
34.0
40.5
44.5
48.0
56.0
y1
44
45
47
50
50
38
30
30
34
y2
44
59
70
72
93
100
110
110
110
x
61.0
68.5
76.5
80.5
91.0
96.0
101.0
104.0
106.5
y1
36
34
41
45
46
43
37
33
28
y2
117
118
116
118
118
121
124
121
121