?/p>
3
课时
证明与探索性问?/p>
题型一
证明问题
?/p>
1
?/p>
O
为坐标原点,动点
M
在椭?/p>
C
?/p>
x
2
2
?/p>
y
2
?/p>
1
上,?/p>
M
?/p>
x
轴的垂线,垂足为
N
,点
P
满足
NP
?/p>
?/p>
2
NM
?/p>
.
(1)
求点
P
的轨迹方程;
(2)
设点
Q
在直?/p>
x
=-
3
上,
?/p>
OP
?/p>
·
PQ
?
?/p>
1.
证明?/p>
过点
P
且垂直于
OQ
的直?/p>
l
?/p>
C
的左焦点
F
.
(1)
?/p>
?/p>
P
(
x
?/p>
y
)
?/p>
M
(
x
0
?/p>
y
0
)
,则
N
(
x
0
?/p>
0)
?/p>
NP
?
?/p>
(
x
?/p>
x
0
?/p>
y
)
?/p>
NM
?
?/p>
(0
?/p>
y
0
).
?/p>
NP
?/p>
?/p>
2
NM
?
,得
x
0
?/p>
x
?/p>
y
0
?/p>
2
2
y
.
因为
M
(
x
0
?/p>
y
0
)
?/p>
C
上,所?/p>
x
2
2
?/p>
y
2
2
?/p>
1.
因此?/p>
P
的轨迹方程为
x
2
?/p>
y
2
?/p>
2.
(2)
证明
由题意知
F
(
?/p>
1
?/p>
0).
?/p>
Q
(
?/p>
3
?/p>
t
)
?/p>
P
(
m
?/p>
n
)
?/p>
?/p>
OQ
?/p>
?/p>
(
?/p>
3
?/p>
t
)
?/p>
PF
?
?/p>
(
?/p>
1
?/p>
m
,-
n
)
?/p>
OQ
?/p>
·
PF
?
?/p>
3
?/p>
3
m
?/p>
tn
?/p>
OP
?
?/p>
(
m
?/p>
n
)
?/p>
PQ
?
?/p>
(
?/p>
3
?/p>
m
?/p>
t
?/p>
n
).
?/p>
OP
?/p>
·
PQ
?/p>
?/p>
1
,得?/p>
3
m
?/p>
m
2
?/p>
tn
?/p>
n
2
?/p>
1.
又由
(1)
?/p>
m
2
?/p>
n
2
?/p>
2
?/p>
?/p>
3
?/p>
3
m
?/p>
tn
?/p>
0.
所?/p>
OQ
?/p>
·
PF
?/p>
?/p>
0
,即
OQ
?/p>
?/p>
PF
?/p>
.
又过?/p>
P
存在唯一直线垂直?/p>
OQ
?/p>
所以过?/p>
P
且垂直于
OQ
的直?/p>
l
?/p>
C
的左焦点
F
.
思维升华圆锥曲线中的证明问题多涉及证明定值、点在定直线上等,有时也涉及一些否定?/p>
命题,证明方法一般是采用直接法或反证?/p>
.
跟踪训练
1
已知椭圆
T
?/p>
x
2
a
2
?/p>
y
2
b
2
?/p>
1(
a
>
b
>0)
的一个顶?/p>
A
(0
?/p>
1)
,离心率
e
?/p>
6
3
,圆
C
?/p>
x
2
?/p>
y
2
?/p>
4
,从?/p>
C
上任意一?/p>
P
向椭?/p>
T
引两条切?/p>
PM
?/p>
PN
.