龙源期刊?/p>
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攻克一类含参绝对值函数最值问题中分类?/p>
论的难关
作者:傅建?/p>
来源:《数学金?/p>
·
高考版?/p>
2015
年第
09
?/p>
函数最值问题历来是高考的热点问题,纵观近年来各地的高考、模考试题,笔者发现,?/p>
?/p>
“f
?/p>
x
?/p>
=g
?/p>
x
?/p>
+
?/p>
kx+b
?/p>
x-a
?/p>
g
?/p>
x
)为不超过二次的整式函数?/p>
k
?/p>
b
不全为零?/p>
?/p>
的二?/p>
型含参绝对值函数的最值问题正悄然兴起
.
由于这类函数带有绝对值,且有参数在内
?/p>
搅局
?/p>
?/p>
因此多数学生感到迷雾重重、头绪纷乱,不知该如何找到问题的突破?/p>
.
显然,分类讨论、作
图观察是解决含参函数最值问题的有效途径,但对于这类函数而言,我们该如何理清函数作图
的头绪、破解分类讨论的迷局?本文就此问题进行探?/p>
.
破解策略
我们知道,函?/p>
y=f
?/p>
x
)(
x
?/p>
D
)的最值只能在其极值点(该点附近两侧的单调性相
反)或区?/p>
D
的端点(当端点为闭时)处取得
.
从函数图象上看,函数的最大(小)值是图象
最高(低)点的纵坐?/p>
.
换言之,只要能作出函数在定义域内的图象,则其最值情况就将一?/p>
了然
.
然而,函数作图的依据是什么呢?显然是要了解函数的极值点是否在其的定义域?/p>
.
笔?/p>
探究发现,判断极值点是否在定义域内,最简明的方法就是将极值点与区间端点进行排序(?/p>
较大小),一旦明确这种排序,就可作出大致图象(仅关注单调性)
.
然而,对于本题中这?/p>
含参绝对值函数(其极值点可能与参数有关)而言,我们该如何将极值点与区间端点进行排
序?这就需要进行分类讨论(分类讨论思想正是在这一背景下应运而生,它首先服务于排序,
最终服务于作图?/p>
.
具体操作流程可按以下
?/p>
路线?/p>
?/p>
进行:去除绝对?/p>
?/p>
求出极值点
?/p>
确定?/p>
论点
?/p>
划分讨论?/p>
?/p>
排序极值点
?/p>
作出定义?/p>
.
?/p>
1
)去除绝对?/p>
—?/p>
?/p>
x-a
的零?/p>
a
为界(称
a
?/p>
?/p>
界点
?/p>
),将函?/p>
f
?/p>
x
?/p>
=g
?/p>
x
?/p>
+
?/p>
kx+b
?/p>
x-a
写成分段函数?/p>
f
?/p>
x
?/p>
=h1
?/p>
x
),
x≥a
?/p>
h2
?/p>
x
),
x
?/p>
2
)求出极值点
—?/p>
设二次函?/p>
h1
?/p>
x
),
h2
?/p>
x
)的对称轴分别为
x1
?/p>
x2
,则
x1
?/p>
x2
显然可能?/p>
f
?/p>
x
)的极值点
.
而由
?/p>
连体函数
?/p>
的图象特征知?/p>
?/p>
界点
”a
也有可能是极值点
.
?/p>
此,函数
f
?/p>
x
)最多会有三个极值点(即
x1
?/p>
x2
?/p>
a
只是
f
?/p>
x
)的可能极值点?/p>
.
?/p>
3
)确定讨论点
—?/p>
设函?/p>
f
?/p>
x
)的定义?/p>
D=[m
?/p>
n]
?/p>
m
?/p>
4
)划分讨论段
—?/p>
设方?/p>
x1=x2
?/p>
x1=a
?/p>
x2=a
的根(讨论点)分别为
a1
?/p>
a2
?/p>
a3
(设
a1≤a2≤a3
),将其插入于参?/p>
a
的允许范围(?/p>
a
?/p>
R
)之内,即可获得参数
a
的不同分段区
间:?/p>
-
?/p>
?/p>
a1]
,(
a1
?/p>
a2]
,(
a2
?/p>
a3]
,(
a3
?/p>
+?/p>
),它们即为参数
a
的分类讨论段
.