第二?/p>
多项?/p>
1
?/p>
?/p>
f
(
x
)
?/p>
g
(
x
)
?/p>
h
(
x
)
是实数域上的多项式.
证明?/p>
?/p>
f
(
x
)
2
=
x g
(
x
)
2
+
x h
(
x
)
2
?/p>
那么
f
(
x
) =
g
(
x
) =
h
(
x
) = 0
?/p>
1
?/p>
?/p>
f
(
x
)
?/p>
g
(
x
)
除所得的商式和余式:
(i)
1
4
)
(
2
4
?/p>
?/p>
?/p>
x
x
x
f
,
1
3
)
(
2
?/p>
?/p>
?/p>
x
x
x
g
(ii)
1
3
)
(
2
3
5
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
x
x
x
x
f
,
2
3
)
(
3
?/p>
?/p>
?/p>
x
x
x
g
证明?/p>
k
x
f
x
)
(
|
必要且只?/p>
)
(
|
x
f
x
2
?/p>
?/p>
)
(
),
(
),
(
,
)
(
2
1
2
1
x
g
x
g
x
f
x
f
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
F
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
0
)
(
1
?/p>
x
f
?/p>
)
(
)
(
2
1
x
g
x
g
|
)
(
)
(
2
1
x
f
x
f
?/p>
)
(
1
x
f
|
)
(
1
x
g
.证明:
)
(
2
x
g
|
)
(
2
x
f
?/p>
3
?/p>
实数
m, p , q
满足什么条件时多项?/p>
1
2
?/p>
?/p>
mx
x
能够整除多项?/p>
q
px
x
?/p>
?/p>
4
?/p>
?/p>
4
?/p>
?/p>
F
是一个数域,
F
a
?/p>
.证明:
a
x
?/p>
整除
n
n
a
x
?/p>
?/p>
5
?/p>
考虑有理数域上多项式
1
)
1
)(
2
(
)
1
(
)
(
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
n
k
n
k
x
x
x
x
f
n
k
x
x
)
1
(
)
2
(
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
,这?/p>
n
?/p>
k
都是非负整数.证明:
1
?/p>
k
x
|
1
)
1
(
)
(
)
1
(
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
n
k
x
x
f
x
?/p>
6
?/p>
证明?/p>
1
?/p>
d
x
整除
1
?/p>
n
x
必要且只?/p>
d
整除
n
1
?/p>
计算以下各组多项式的最大公因式?/p>
(i)
3
2
10
3
)
(
,
3
4
3
)
(
2
3
2
3
4
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
x
x
x
x
g
x
x
x
x
x
f
?/p>