?/p>
?/p>
?
?
?/p>
?/p>
?
1
.
?/p>
,
N
M
?/p>
证明?/p>
,
M
N
M
M
N
N
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
任取
,
M
?/p>
?/p>
?/p>
,
N
M
?/p>
?/p>
,
N
?/p>
?/p>
所?/p>
,
N
M
?/p>
?/p>
?/p>
即证
M
N
M
?/p>
。又?/p>
,
M
N
M
?/p>
?/p>
?
M
N
M
?/p>
。再证第二式,任?/p>
M
?/p>
?/p>
?/p>
,
N
?/p>
?/p>
?/p>
,
N
M
?/p>
因此无论哪一种情形,都有
,
N
?/p>
?/p>
此即。但
,
N
M
N
?/p>
?/p>
所?/p>
M
N
N
?/p>
?/p>
2
.
证明
)
(
)
(
)
(
L
M
N
M
L
N
M
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
)
(
)
(
)
(
L
M
N
M
L
N
M
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
),
(
L
N
M
x
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
.
L
N
x
M
x
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
在后一情形,于?/p>
.
L
M
x
N
M
x
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
所?
)
(
)
(
L
M
N
M
x
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
,由此得
)
(
)
(
)
(
L
M
N
M
L
N
M
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
。反之,?/p>
)
(
)
(
L
M
N
M
x
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
,则
.
L
M
x
N
M
x
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
在前一情形?/p>
,
,
N
x
M
x
?/p>
?/p>
因此
.
L
N
x
?/p>
?/p>
故得
),
(
L
N
M
x
?/p>
?/p>
?/p>
在后一情形,因?/p>
,
,
L
x
M
x
?/p>
?/p>
x
N
L
?/p>
,得
),
(
L
N
M
x
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
),
(
)
(
)
(
L
N
M
L
M
N
M
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
于是
)
(
)
(
)
(
L
M
N
M
L
N
M
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
x
M
N
L
M
N
L
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
),?/p>
x
?/p>
x
?/p>
在前一情形
X
x
M
N
?/p>
?/p>
X
M
L
?/p>
?/p>
?/p>
x
M
N
?/p>
因?/p>
?/p>

?/p>
?/p>
M
L
?/p>
?/p>
,
,
N
L
x
M
N
X
M
L
M
N
M
M
N
M
N
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
在后一情形?/p>
x
,x
因?/p>
?/p>
,即
X
?/p>
M
N
?/p>
?/p>
M
L
)所?
?/p>
?/p>
?/p>
M
L
?/p>
?/p>
N
L
?/p>
?/p>
?/p>
L
?/p>
=
?/p>
?/p>
?/p>
M
L
?
即证?
3
、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间:
1
?/p>
次数等于
n
?/p>
n
?/p>
1
)的实系数多项式的全体,对于多项式的加法和数量乘法;
2
?/p>
?/p>
A
是一?/p>
n
×
n
实数矩阵?/p>
A
的实系数多项?/p>
f
?/p>
A
)的全体,对于矩阵的加法和数量乘法;
3
?/p>
全体实对称(反对称,上三角)矩阵,对于矩阵的加法和数量乘法;
4
?/p>
平面上不平行于某一向量所成的集合,对于向量的加法和数量乘法;
5
?/p>
全体实数的二元数列,对于下面定义的运算:
6
?/p>
平面上全体向量,对于通常的加法和如下定义的数量乘法:
0
k
a
?/p>
?/p>