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第二?/p>
?/p>
?/p>
在第一章里?/p>
我们介绍了一般的集合的基本知识,
给出了一些重要概念和基本性质
.
而实
变函数课程研究的函数是定义在
n
维欧几里得空?/p>
n
R
的子集上的实值函数,因此,有必要?
n
R
中的点集作进一步的讨论
.
本章在第一章的基础上,
着重讨?/p>
n
R
中的点集所特有的一些?/p>
?/p>
.
需要指出的是,
因为
n
R
中点集也是集合,
因而,
在第一章关于一般的集合的所有结果对
n
R
中的点集都适用,但
n
R
中的点集所具有的许多特殊性质,对于一般的集合就不一定成立了
.
§
1
度量空间?/p>
n
维欧氏空?/p>
教学目的?/p>
使学生了?/p>
n
R
中点集的直径,区间概念,掌握邻域的概念及性质?/p>
本节重点?/p>
距离空间?/p>
距离概念?/p>
n
R
的几种常见距离规定方法,
邻域的定义方式及性质?/p>
在解析几何和数学分析中,我们已经对一维欧几里得空?/p>
1
R
(即
R
,实直线?/p>
,二维欧
几里得空?/p>
2
R
(即实平面)
和三维欧几里得空?/p>
3
R
(即现实的三维立体空间)
有了比较深入
的了?/p>
.
现在,我们讨?/p>
n
维欧几里得空?/p>
.
定义
?/p>
n
是正整数,由
n
个实数构成的有序数组
1
2
(
,
,
,
)
n
x
x
x
x
?/p>
?/p>
的全体组成的集合?/p>
称为
n
维点集,记作
n
R
,即
n
R
?/p>
1
2
{
(
,
,
,
)
:
,
1,
2,
,
}
n
i
x
x
x
x
x
R
i
n
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
.
为了深入研究
n
维点?/p>
n
R
中邻域、有界集、点列收敛等概念,需要对
n
R
中的点之间定
义距?/p>
.
为了使问题讨论适用于更广泛的情形,我们对一般的集合给出距离的概?/p>
.
定义
?/p>
X
是一个非空集合,
如果对于
X
中任何两个元?/p>
x
?/p>
y
?/p>
都有一个确定的实数?/p>
记为
(
,
)
x
y
?/p>
,与之对应,且满足下面三个条件:
?/p>
i
)非负性:
(
,
)
0
x
y
?/p>
?/p>
,而且
(
,
)
0
x
y
?/p>
?/p>
当且仅当
x
y
?/p>
?/p>