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29

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图论初步

 

 

29.1.1* 

 

某大型晚会有

2009

个人参加,已知他们每个人至少认识其中的一个人.证明:必有一个人?/p>

少认识其中的二个人.

 

解析

 

 

2009

这个数目较大,我们先考虑:某小型晚会?/p>

5

人参加,已知他们每个人至少认识其中的一

个人.证明:必有一个人至少认识其中的二个人?/p>

 

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表示

5

个人,如果两个人彼此认识(本章中的“认识”都是指相互认识?/p>

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就在表示这两个人的顶点之间连一条边.对顶点功来说,由于

所表示的人至少认识其他

4

个人的一

个,不妨?/p>

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认识,即

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相邻,同样,?

?

相邻,如图所示.对于顶点

来说,无论它

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?

?

哪个相邻,都会出现一个顶点引出两条边的情况.于是问题得以解决?/p>

 

 

用同样的方法可以证明,对

2009

个人来说,命题成立.其实,把

2009

换成任意一个大?/p>

l

的奇数,

命题也成立.

 

29.1.2* 

 

在一间房子里?/p>

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>3

)个人,至少有一个人没有和房子里每个人握手,房子里可能与?/p>

个人都握手的人数的最大值是多少?/p>

 

解析

 

 

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个顶点表?/p>

个人?/p>

若某两个人握过手?/p>

就在他们相应的顶点之间连一条边?/p>

这样就得到了

一个图

.因为不是任何两个人都握过手,所?

的边数最多是完全?

(即

个点每两点之间恰?

一条边?/p>

的边数减

1

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去掉的那条边的两个端?/p>

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所表示的两个人未握过手?/p>

所以房子里可能与每

个人都握手的人数的最大值是

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29.1.3*** 

 

九名数学家在一次国际数学会议上相遇,发现他们中的任意三个人中,至少有两个人可以

用同一种语言对话.如果每个数学家至多可说三种语言,证明至少有三个数学家可以用同一种语言?/p>

话.

 

解析

 

 

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9

个点

?

,…,

表示这九名数学家,如果某两个数学家能用某种语言对话,就在他?

相应的顶点之间连一条边并涂以相应的颜色?/p>

我们要证明的是:

存在三个顶点

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使得?/p>

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)和?/p>

?

)是同色的.这样的,

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?

这三名数学家就能用同一种语言对话?/p>

 

下面就顶?/p>

,分两种情形?/p>

 

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1

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均相邻,由于每个数学家至多能说三种语言,所以每一个顶点引出的边的颜色?

多是三种?/p>

根据抽屉原理知,

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发出?/p>

8

条边中至少有

2

条是同色的,

不妨设为

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29.1.1* 

 

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个人参加,已知他们每个人至少认识其中的一个人.证明:必有一个人?/p>

少认识其中的二个人.

 

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所表示的人至少认识其他

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用同样的方法可以证明,对

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换成任意一个大?/p>

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29.1.2* 

 

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个人都握手的人数的最大值是多少?/p>

 

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若某两个人握过手?/p>

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这样就得到了

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所表示的两个人未握过手?/p>

所以房子里可能与每

个人都握手的人数的最大值是

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29.1.3*** 

 

九名数学家在一次国际数学会议上相遇,发现他们中的任意三个人中,至少有两个人可以

用同一种语言对话.如果每个数学家至多可说三种语言,证明至少有三个数学家可以用同一种语言?/p>

话.

 

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,分两种情形?/p>

 

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均相邻,由于每个数学家至多能说三种语言,所以每一个顶点引出的边的颜色?

多是三种?/p>

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人教版初中数学竞赛专题复习《第29章图论初步》竞赛专题复习含答案 - 百度文库
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根据抽屉原理知,

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