2.3.《函数的单调性》
一 【教材分析】
在此之前，学生已学习了函数的概念、定义域、值域及表示法，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。本节内容是高中数学中相当重要的一个基础知识点，是研究和讨论初等函数有关性质的基础。掌握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论基础，还有利于培养学生的抽象思维能力，及分析问题和解决问题的能力. 二 【学生分析】
从学生的知识上看，学生已经学过一次函数，二次函数，反比例函数等简单函数，函数的概念及函数的表示，接下来的任务是对函数应该继续研究什么,从各种函数关系中研究它们的共同属性，应该是顺理成章的。从学生现有的学习能力看，通过初中对函数的认识与实验，学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力。 从学生的心理学习心理上看，学生头脑中虽有一些函数性质的实物实例，但并没有上升为“概念”的水平，如何给函数性质以数学描述?如何“定性”“定量”地描述函数性质是学生关注的问题，也是学习的重点问题。函数的单调性是学生从已经学习的函数中比较容易发现的一个性质，学生也容易产生共鸣，通过对比产生顿悟，渴望获得这种学习的积极心向是学生学好本节课的情感基础。 三 【 教学目标】 1、知识与技能：
（1）建立增（减）函数的概念
通过观察一些函数图象的特征，形成增（减）函数的直观认识. 再通过具体函
数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出增（减）函数单调性的定义 . 掌握用定义证明函数单调性的步骤。
（2）函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛。 2、过程与方法
（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义； （2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
（3）能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性．
3、情态与价值，使学生感到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学习函数的紧迫感. 四 【教学重点与难点】
重点：函数的单调性及其几何意义．
难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性． 五 【学法与教学用具】
1、从观察具体函数图象引入，直观认识增减函数，利用这定义证明函数单调性。通过练习、交流 反馈，巩固从而完成本节课的教学目标。 2、教学用具：投影仪、计算机. 六【教学思路】
（一） 创设情景，揭示课题
1．钱江潮，自古称之为“天下奇观”。“八月十八潮，壮观天下”。当江潮从东面来时，似一条银线，“当潮来时，大声如雷”。潮起潮落，牵动了无数人的心。
如何用函数形式来表示，起和落？
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2．教师和学生一起回忆
如何用学过的函数图象来描绘这潮起潮落呢？
设计意图：创设钱塘江潮潮起潮落，图象的问题情境，让学生用朴素的生活语言描述他们，对变化规律的理解，并请学生将文字语言转化为图形语言，这样做可使教学过程富有情趣，可激发学生的学习热情，教学起点的设定也比较恰当，学生的参与度较高。 温故知新
1．问题1：观察学生绘制的函数的图象（实际教学中可根据学生回答的情况而定），指出图象的变化的趋势。
观察得到：随着x值的增大，函数图象有的呈上升趋势，有的呈下降趋势，有的在一个区间内呈上升趋势，在另一区间内呈下降趋势。
设计意图：学生在函数单调性这一概念的学习上有三个认知基础：一是生活体验，二是函数图象，三是初中对函数单调性的认识。对照绘制的函数图象，让学生回忆初中对函数单调性的描述的定义，并在此基础上进行概念的符号化建构，与学生的认知起点衔接紧密，符合学生的认知规律。 创设情景，揭示课题 借助图象，直观感知
同学们能用数学语言把上面函数图象上升或下降的特征描述出来吗？ （1）画出下列函数的图象，观察其变化规律：（学生动手）
请作出函数f(x) = x+1并观察自变量变化时，函数值的变化规律． （学生先自己观察，然后通过多媒体----几何画板形象观察）
f(x)?1．f(x) = x+1
1x
1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○
2 在区间 _________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ________ ． ○2．
f(x)?x2
1在区间 ____________ 上， ○
f(x)的值随着x的增大而 ________ ．
2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随 ○
着x的增大而 ________ ．
2
3、从上面的观察分析，能得出什么结论？
学生回答后教师归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变 化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性（引出课题）。 （二）研探新知 在区间I内 在区间I内
如何用x与 f(x)来描述上升的图象？ 如何定义单调减函数呢？
可以通过类比的方法由学生给出。
·· ··
对单调性定义的说明:
思考交流： 函数f(x)=1/x 在定义域下是否为单调减函数； （1）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质; （2）x 1, x 2 取值具有任意性
（3）如果函数 y =f(x)在区间I是增加的或是减少的，那么就说函数y =f(x)在区间I上具有单调性。如果函数在整个定义域内是增加的或是减少的，分别的可以称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数。
(4)函数在定义域内的两个区间A,B上都是增加的（或减少的），一般不能认为函数在A∪B上是增加的（或减少的），应该是在A和B是增加的（或减少的）。
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