第3讲 圆锥曲线中的热点问题
【高考考情解读】 1.本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查弦长、定点、定值、最值、范围问题或探索性问题，试题难度较大.2.求轨迹方程也是高考的热点与重点，若在客观题中出现通常用定义法，若在解答题中出现一般用直接法、代入法、参数法或待定系数法，往往出现在解答题的第(1)问中．
1． 直线与圆锥曲线的位置关系
(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：
将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离． (2)直线与双曲线的位置关系的判定方法：
将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．
①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ<0时，直线与双曲线相离．
②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点． (3)直线与抛物线的位置关系的判定方法：
将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．
①当a≠0时，用Δ判定，方法同上．
②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点． 2． 有关弦长问题
有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．
(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝1＋k2|x2－x1|或|P1P2|＝即作如下变形：
|x2－x1|＝?x1＋x2?2－4x1x2， |y2－y1|＝?y1＋y2?2－4y1y2.
1
1＋2|y2－y1|，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用根与系数的关系，k
(2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)． 3． 弦的中点问题
有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．
考点一 圆锥曲线的弦长及中点问题
x2y26
例1 已知椭圆G：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，右焦点(22，0)，斜率为1的直线l
ab3
与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)． (1)求椭圆G的方程； (2)求△PAB的面积．
c6
解 (1)由已知得c＝22，＝. a3解得a＝23，又b2＝a2－c2＝4. x2y2
所以椭圆G的方程为＋＝1.
124(2)设直线l的方程为y＝x＋m. y＝x＋m，??22由?xy
＋＝1.??124
得4x2＋6mx＋3m2－12＝0.①
设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1 244因为AB是等腰△PAB的底边， 所以PE⊥AB. m 2－ 4 所以PE的斜率k＝＝－1. 3m－3＋4解得m＝2. 此时方程①为4x2＋12x＝0. 解得x1＝－3，x2＝0. 所以y1＝－1，y2＝2. 所以|AB|＝32. 此时，点P(－3,2)到直线AB： |－3－2＋2|32 x－y＋2＝0的距离d＝＝， 2219 所以△PAB的面积S＝|AB|·d＝. 22 解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方 程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单． 11?x2 椭圆＋y2＝1的弦被点??2，2?平分，则这条弦所在的直线方程是2 ____________． 答案 2x＋4y－3＝0 解析 设弦的两个端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝1，y1＋y2＝1. x2x21222 ∵A，B在椭圆上，∴＋y1＝1，＋y2＝1. 22?x1＋x2??x1－x2? ＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0， 2即 y1－y2x1＋x21 ＝－＝－， 2x1－x22?y1＋y2? 1 即直线AB的斜率为－. 2 111 x－?， ∴直线AB的方程为y－＝－?22?2?即2x＋4y－3＝0. 考点二 圆锥曲线中的定值、定点问题 x2y21 例2 已知椭圆C：2＋2＝1经过点(0，3)，离心率为，直线l经过椭圆C的右焦点F ab2 交椭圆于A、B两点，点A、F、B在直线x＝4上的射影依次为D、K、E. (1)求椭圆C的方程； →→→→ (2)若直线l交y轴于点M，且MA＝λAF，MB＝μBF，当直线l的倾斜角变化时，探求λ＋μ的值是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；否则，说明理由； (3)连接AE、BD，试探索当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由． (1)待定系数法；(2)用直线的斜率为参数建立直线方程，代入椭圆方程消y后 →→→→ 可得点A，B的横坐标的关系式，然后根据向量关系式MA＝λAF，MB＝μBF把λ，μ用点A，B的横坐标表示出来，只要证明λ＋μ的值与直线的斜率k无关即证明了其为定值，否则就不是定值；(3)先根据直线l的斜率不存在时的特殊情况，看两条直线AE，BD的