OD=OA′·sinA' 2C'OA'..ED.B'B'A'2 =A′B′··sin 2sin?A'O'B'A'B'sin?sin22， =A′B′·
A'?B'sin2A'B'coscos22. O′E= A′B′·
A'?B'sin2ODA'B'∴?tgtg. O'E22亦即有
sinr1rA?CMA?CNBB·2=tgtgtgtg q1q22222O' =tgABrtg=. 22q六、众心共圆
这有两种情况：(1)同一点却是不同三角形的不同的心；(2)同一图形出现了同一三角形的几个心. 例11．设在圆内接凸六边形ABCDFE中，AB=BC，CD=DE，EF=FA.试证：(1)AD，
BE，CF三条对角线交于一点；
(2)AB+BC+CD+DE+EF+FA≥AK+BE+CF. (1991，国家教委数学试验班招生试题)
分析：连接AC，CE，EA，由已知可证AD，CF，EB是△ACE的三条内角平分
线，I为△ACE的内心.从而有ID=CD=DE， IF=EF=FA， IB=AB=BC. 再由△BDF，易证BP，DQ，FS是它的三条高，I是它的垂心，利用 不
..等式有： ErdosA BI+DI+FI≥2·(IP+IQ+IS).
F 不难证明IE=2IP，IA=2IQ，IC=2IS. BQ ∴BI+DI+FI≥IA+IE+IC.
IPE ∴AB+BC+CD+DE+EF+FA S =2(BI+DI+FI)
C ≥(IA+IE+IC)+(BI+DI+FI) D =AD+BE+CF. I就是一点两心.
例12．△ABC的外心为O，AB=AC，D是AB中点，E是△ACD的重心.证明
OE丄CD.
(加拿大数学奥林匹克训练题)
A分析：设AM为高亦为中线，取AC中点
F，E必在DF上且DE:EF=2:1.设
EFDCD交AM于G，G必为△ABC重心. G连GE，MF，MF交DC于K.易证： OK111BCDG:GK=DC:(?)DC=2:1. 323 ∴DG:GK=DE:EF?GE∥MF. ∵OD丄AB，MF∥AB，
∴OD丄MF?OD丄GE.但OG丄DE?G又是△ODE之垂心. 易证OE丄CD.
例13．△ABC中∠C=30°，O是外心，I是内心，边AC上的D点与边BC上的
E点使得AD=BE=AB.求证：OI丄DE，OI=DE. (1988，中国数学奥林匹克集训题)
分析：辅助线如图所示，作∠DAO平分线交BC于K. 易证△AID≌△AIB≌△EIB，
∠AID=∠AIB=∠EIB. DAC30° 利用内心张角公式，有
OKI1FE ∠AIB=90°+∠C=105°，
2B ∴∠DIE=360°-105°×3=45°.
1 ∵∠AKB=30°+∠DAO
21 =30°+(∠BAC-∠BAO)
2 =30°+(∠BAC-60°) =∠BAC=∠BAI=∠BEI. ∴AK∥IE.
由等腰△AOD可知DO丄AK，
∴DO丄IE，即DF是△DIE的一条高. 同理EO是△DIE之垂心，OI丄DE. 由∠DIE=∠IDO，易知OI=DE.
例14．锐角△ABC中，O，G，H分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离
和为d外，重心到三边距 A离和为d重，垂心到三边距离和为d垂.
H3求证：1·d垂+2·d外=3·d重. G3O2O3G2分析：这里用三角法.设△ABC外接圆
H2OG半径为1，三个内角记为A，B， IBC. 易知d外=OO1+OO2+OO3 CO1G1H1=cosA+cosB+cosC，
∴2d外=2(cosA+cosB+cosC). ① ∵AH1=sinB·AB=sinB·(2sinC)=2sinB·sinC， 同样可得BH2·CH3.
∴3d重=△ABC三条高的和
=2·(sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB) ② ∴=2，
∴HH1=cosC·BH=2·cosB·cosC. 同样可得HH2，HH3. ∴d垂=HH1+HH2+HH3
=2(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB) ③ 欲证结论，观察①、②、③，
须证(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB)+( cosA+ cosB+ cosC)=sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB.即可.
练 习 题
1.I为△ABC之内心，射线AI，BI，CI交△ABC外接圆于A′， B′，C ′.则AA′+BB′+CC′＞△ABC周长.(1982，澳大利 亚数学奥林匹克)
2.△T′的三边分别等于△T的三条中线，且两个三角形有一组角相等.求证这两个三角形相似.(1989，捷克数学奥林匹克) 3.I为△ABC的内心.取△IBC，△ICA，△IAB的外心O1，O2，O3.求证：△O1O2O3与△ABC有公共的外心.(1988，美国数学奥林匹克)
4.AD为△ABC内角平分线.取△ABC，△ABD，△ADC的外心O，O1，O2.则△OO1O2是等腰三角形.
5.△ABC中∠C＜90°，从AB上M点作CA，CB的垂线MP，MQ.H是△CPQ的垂心.当M是AB上动点时，求H的轨迹.(IMO-7)
6.△ABC的边BC=(AB+AC)，取AB，AC中点M，N，G为重心，I为内心.试证：过A，M，N三点的圆与直线GI相切.(第27届莫斯科数学奥林匹克)
7.锐角△ABC的垂心关于三边的对称点分别是H1，H2，H3.已知：H1，H2，H3，求作△ABC.(第7届莫斯科数学奥林匹克)
8.已知△ABC的三个旁心为I1，I2，I3.求证：△I1I2I3是锐角三角形.
9.AB，AC切⊙O于B，C，过OA与BC的交点M任作⊙O的弦EF.求证：(1)△AEF与△ABC有公共的内心；(2)△AEF与△ABC有一个旁心重合.