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21、(2013年南京) 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分 ?ABC，P是BD上一点，过点P作PM?AD，PN?CD，垂 足分别为M、N。
(1) 求证：?ADB=?CDB；
B (2) 若?ADC=90?，求证：四边形MPND是正方形。
解析：
证明：(1) ∵BD平分?ABC，∴?ABD=?CBD。又∵BA=BC，BD=BD， ∴△ABD ? △CBD。∴?ADB=?CDB。 (4分) (2) ∵PM?AD，PN?CD，∴?PMD=?PND=90?。 又∵?ADC=90?，∴四边形MPND是矩形。 ∵?ADB=?CDB，PM?AD，PN?CD，∴PM=PN。 ∴四边形MPND是正方形。 (8分) 22、（2013?鄂州）如图正方形ABCD的边长为4，E、F分别为DC、BC中点． （1）求证：△ADE≌△ABF． （2）求△AEF的面积．
A P C M D N
考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质．3718684 分析： （1）由四边形ABCD为正方形，得到AB=AD，∠B=∠D=90°，DC=CB，由E、F分别为DC、BC中点，得出DE=BF，进而证明出两三角形全等； （2）首先求出DE和CE的长度，再根据S△AEF=S正方形ABCD﹣S△ADE﹣S△ABF﹣S△CEF得出结果． 解答： （1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=AD，∠=90°，DC=CB， ∵E、F为DC、BC中点， ∴DE=DC，BF=BC， ∴DE=BF， ∵在△ADE和△ABF中， ， ∴△ADE≌△ABF（SAS）； （2）解：由题知△ABF、△ADE、△CEF均为直角三角形， 且AB=AD=4，DE=BF=34=2，CE=CF=34=2， 全国中考网 www.zhongkao.com 版权所有 谢绝转载
全国中考信息资源门户网站 www.zhongkao.com ∴S△AEF=S正方形ABCD﹣S△ADE﹣S△ABF﹣S△CEF =434﹣3432﹣3432﹣3232 =6． 点评： 本题主要考查正方形的性质和全等三角形的证明，解答本题的关键是熟练掌握正方形的性质以及全等三角形的判定定理，此题难度不大． 23、（2013?毕节地区）四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF． （1）求证：△ADE≌△ABF；
（2）填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A 点，按顺时针方向旋转 90 度得到； （3）若BC=8，DE=6，求△AEF的面积．
考点： 旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质． 专题： 证明题． 分析： （1）根据正方形的性质得AD=AB，∠D=∠ABC=90°，然后利用“SAS”易证得△ADE≌△ABF； （2）由于△ADE≌△ABF得∠BAF=∠DAE，则∠BAF+∠EBF=90°，即∠FAE=90°，根据旋转的定义可得到△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90 度得到； （3）先利用勾股定理可计算出AE=10，在根据△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90 度得到AE=AF，∠EAF=90°，然后根据直角三角形的面积公式计算即可． 解答： （1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB，∠D=∠ABC=90°， 而F是DCB的延长线上的点， ∴∠ABF=90°， 在△ADE和△ABF中 ， ∴△ADE≌△ABF（SAS）； （2）解：∵△ADE≌△ABF， ∴∠BAF=∠DAE， 而∠DAE+∠EBF=90°， ∴∠BAF+∠EBF=90°，即∠FAE=90°， ∴△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90 度得到； 全