专题27 数形结合
阅读与思考
数学研究的对象是现实世界中的数量关系与空间形式，简单地说就是“数”与“形”，对现实世界的事物，我们既可以从“数”的角度来研究，也可以从“形”的角度来探讨，我们在研究“数”的性质时，离不开“形”；而在探讨“形”的性质时，也可以借助于“数”．我们把这种由数量关系来研究图形性质，或由图形的性质来探讨数量关系，即这种“数”与“形”的相互转化的解决数学问题的思想叫作数形结合思想.
数形结合有下列若干途径：
1．借助于平面直角坐标系解代数问题； 2．借助于图形、图表解代数问题；
3．借助于方程（组）或不等式（组）解几何问题； 4．借助于函数解几何问题.
现代心理学表明：人脑左半球主要具有言语的、分析的、逻辑的、抽象思维的功能；右半球主要具有非言语的、综合的、直观的、音乐的、几何图形识别的形象思维的功能．要有效地获得知识，则需要两个半球的协同工作，数形结合分析问题有利于发挥左、右大脑半球的协作功能.
代数表达及其运算，全面、精确、入微，克服了几何直观的许多局限性，正因为如此，笛卡尔创立了解析几何，用代数方法统一处理几何问题．从而成为现代数学的先驱．几何问题代数化乃是数学的一大进步．
例题与求解
【例l】设y?x2?2x?2?x2?4x?13，则y的最小值为___________.（罗马尼亚竞赛试题）
解题思路：若想求出被开方式的最小值，则顾此失彼．y??x?1?2?1??x?2?2?9＝
?x?1?2??0?1?2??x?2?2??0?3?2，于是问题转化为：在x轴上求一点C(x，0)，使它到两
点A（－1，1）和B(2，3)的距离之和（即CA＋CB）最小.
【例2】直角三角形的两条直角边之长为整数，它的周长是x厘米，面积是x平方厘米，这样的直角三角形 ( )
A．不存在 B．至多1个 C．有4个 D．有2个
（黄冈市竞赛试题） 解题思路：由题意可得若干关系式，若此关系式无解，则可推知满足题设要求的直角三角形不存在；若此关系式有解，则可推知这样的直角三角形存在，且根据解的个数，可确定此直角三角形的个数．
【例3】如图，在△ABC中，∠A＝90，∠B＝2∠C，∠B的平分线交AC于D，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F. 求证：
0111. ??BD?DFAE?BFAE?BE （湖北省竞赛试题）
解题思路：图形中含多个重要的基本图形，待证结论中的代数迹象十分明显．可依据题设条件，分别计算出各个线段，利用代数法证明．
BEFA
DC
【例4】 当a在什么范围内取值时，方程x2?5x?a有且只有相异的两实数根？ （四川省联赛试题） 解题思路：从函数的观点看，问题可转化为函数y?x?5x与函数y?a(a≥0)图象有且只有相异两个交点．作出函数图象，由图象可直观地得a的取值范围．
【例5】 设△ABC三边上的三个内接正方形（有两个顶点在三角形的一边上，另两个顶点分别在三角形另两边上）的面积都相等，证明：△ABC为正三角形． （江苏省竞赛试题） 解题思路：设△ABC三边长分别为a，b，c，对应边上的高分别为ha，hb，hc，△ABC的面积为S，则易得三个内接正方形边长分别为
22S2S2S，，，由题意得a?ha?b?hb?c?hc，a?hab?hbc?hc即a?2S2S2S2S?L. ?b??c??L．则a，b，c适合方程x?xabc
?2y2?25?x?xy?3??y2 【例6】设正数x，y，z满足方程组?，求xy?2yz?3zx的值． ?z2?9?3?22??z?zx?x?16 （俄罗斯中学生数学竞赛试题）
能力训练
1. 不查表可求得tan15的值为__________.
2. 如图，点A，C都在函数y?033(x?0)的图象上，点B，D都在x轴上，且使得△OAB，△xBCD都是等边三角形，则点D的坐标为______________. （全国初中数学联赛试题） 3．平面直角坐标系上有点P(－1，－2)和点Q(4，2)，取点R(1，m)，当m?________时，PR＋RQ有最小值.
4.若a?0，b?0，要使x?a?x?b?a?b成立，x的取值范围是__________. 5.已知AB是半径为1的⊙O的弦，AB的长为方程x?x?1?0的正根，则∠AOB的度数是______________. （太原市竞赛试题） 6. 如图，所在正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行，从内到外，它们的边长依 次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1，A2，A3，A4，…表示，则顶点A55的坐标是( )
2A . (13，13) B．(－13，－13) C.(14，14) D. (－14，一14)
yA10A6A7A2A3xOA11yACxOBDA9A5A1A4A8A12
第2题图 第6题图
7．在△ABC中，∠C＝90，AC＝3，BC＝4．在△ABD中，∠A＝90，AD＝12.点C和点D分居AB两侧，过点D且平行于AC的直线交CB的延长线于E．如果
00DEm?，其中，m，n是互质的正整数，DBn那么m?n= ( )
A. 25 B.128 C.153 D.243 E.256 （美国数学统一考试题） 8．设a，b，c分别是△ABC的三边的长，且
aa?b，则它的内角∠A，∠B的关系是( ) ?ba?b?cA．∠B＞2∠A B．∠B=2∠A C．∠B＜2∠A D．不确定 9．如图，S?AFG?5a，S?ACG?4a，S?BFG?7a，则S?AEG?( ) A．
27282930a B．a C．a D．a 11111111
10. 满足两条直角边边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有( ) A. 1个 B．2个 C．3个 D．无穷多个
11.如图，关于x的二次函数y?x?2mx?m的图象与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点(x2＞0＞x1)，与y轴交于C点，且∠BAC＝∠BCO. (1) 求这个二次函数的解析式；
(2) 以点D（2，0）为圆心⊙D，与y轴相切于点O，过＝抛物线上一点E(x3，t)(t＞0，x3＜
0)作x轴的平行线与⊙D交于F，G两点，与抛物线交于另一点H．问是否存在实数t，使得EF＋GH＝
CF?如果存在，求出t的值；如果不存在，请说明理由． （武汉市中考题）
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12.已知正数a，b，c，A，B，C满足a＋A＝b＋B＝c＋C＝k. 求证：aB十bC＋cA＜k.
13.如图，一个圆与一个正三角形的三边交于六点，已知AG＝2，GF＝13，FC＝1，HI＝7，求DE． （美国数学邀请赛试题）
2AHGIBDOFEC第13题图
14.射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC//QN，AM＝MB＝ 2cm，QM＝ 4cm.动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心，3cm为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上）．请写出t可以取的一切值：_______________（单位：秒）．
ACQMBN
第14题图