初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题27 数形结合

专题27 数形结合

阅读与思考

数学研究的对象是现实世界中的数量关系与空间形式,简单地说就是“数”与“形”,对现实世界的事物,我们既可以从“数”的角度来研究,也可以从“形”的角度来探讨,我们在研究“数”的性质时,离不开“形”;而在探讨“形”的性质时,也可以借助于“数”.我们把这种由数量关系来研究图形性质,或由图形的性质来探讨数量关系,即这种“数”与“形”的相互转化的解决数学问题的思想叫作数形结合思想.

数形结合有下列若干途径:

1.借助于平面直角坐标系解代数问题; 2.借助于图形、图表解代数问题;

3.借助于方程(组)或不等式(组)解几何问题; 4.借助于函数解几何问题.

现代心理学表明:人脑左半球主要具有言语的、分析的、逻辑的、抽象思维的功能;右半球主要具有非言语的、综合的、直观的、音乐的、几何图形识别的形象思维的功能.要有效地获得知识,则需要两个半球的协同工作,数形结合分析问题有利于发挥左、右大脑半球的协作功能.

代数表达及其运算,全面、精确、入微,克服了几何直观的许多局限性,正因为如此,笛卡尔创立了解析几何,用代数方法统一处理几何问题.从而成为现代数学的先驱.几何问题代数化乃是数学的一大进步.

例题与求解

【例l】设y?x2?2x?2?x2?4x?13,则y的最小值为___________.(罗马尼亚竞赛试题)

解题思路:若想求出被开方式的最小值,则顾此失彼.y??x?1?2?1??x?2?2?9=

?x?1?2??0?1?2??x?2?2??0?3?2,于是问题转化为:在x轴上求一点C(x,0),使它到两

点A(-1,1)和B(2,3)的距离之和(即CA+CB)最小.

【例2】直角三角形的两条直角边之长为整数,它的周长是x厘米,面积是x平方厘米,这样的直角三角形 ( )

A.不存在 B.至多1个 C.有4个 D.有2个

(黄冈市竞赛试题) 解题思路:由题意可得若干关系式,若此关系式无解,则可推知满足题设要求的直角三角形不存在;若此关系式有解,则可推知这样的直角三角形存在,且根据解的个数,可确定此直角三角形的个数.

【例3】如图,在△ABC中,∠A=90,∠B=2∠C,∠B的平分线交AC于D,AE⊥BC于E,DF⊥BC于F. 求证:

0111. ??BD?DFAE?BFAE?BE (湖北省竞赛试题)

解题思路:图形中含多个重要的基本图形,待证结论中的代数迹象十分明显.可依据题设条件,分别计算出各个线段,利用代数法证明.

BEFA

DC

【例4】 当a在什么范围内取值时,方程x2?5x?a有且只有相异的两实数根? (四川省联赛试题) 解题思路:从函数的观点看,问题可转化为函数y?x?5x与函数y?a(a≥0)图象有且只有相异两个交点.作出函数图象,由图象可直观地得a的取值范围.

【例5】 设△ABC三边上的三个内接正方形(有两个顶点在三角形的一边上,另两个顶点分别在三角形另两边上)的面积都相等,证明:△ABC为正三角形. (江苏省竞赛试题) 解题思路:设△ABC三边长分别为a,b,c,对应边上的高分别为ha,hb,hc,△ABC的面积为S,则易得三个内接正方形边长分别为

22S2S2S,,,由题意得a?ha?b?hb?c?hc,a?hab?hbc?hc即a?2S2S2S2S?L. ?b??c??L.则a,b,c适合方程x?xabc

?2y2?25?x?xy?3??y2 【例6】设正数x,y,z满足方程组?,求xy?2yz?3zx的值. ?z2?9?3?22??z?zx?x?16 (俄罗斯中学生数学竞赛试题)

能力训练

1. 不查表可求得tan15的值为__________.

2. 如图,点A,C都在函数y?033(x?0)的图象上,点B,D都在x轴上,且使得△OAB,△xBCD都是等边三角形,则点D的坐标为______________. (全国初中数学联赛试题) 3.平面直角坐标系上有点P(-1,-2)和点Q(4,2),取点R(1,m),当m?________时,PR+RQ有最小值.

4.若a?0,b?0,要使x?a?x?b?a?b成立,x的取值范围是__________. 5.已知AB是半径为1的⊙O的弦,AB的长为方程x?x?1?0的正根,则∠AOB的度数是______________. (太原市竞赛试题) 6. 如图,所在正方形的中心均在坐标原点,且各边与x轴或y轴平行,从内到外,它们的边长依 次为2,4,6,8,…,顶点依次用A1,A2,A3,A4,…表示,则顶点A55的坐标是( )

2A . (13,13) B.(-13,-13) C.(14,14) D. (-14,一14)

yA10A6A7A2A3xOA11yACxOBDA9A5A1A4A8A12

第2题图 第6题图

7.在△ABC中,∠C=90,AC=3,BC=4.在△ABD中,∠A=90,AD=12.点C和点D分居AB两侧,过点D且平行于AC的直线交CB的延长线于E.如果

00DEm?,其中,m,n是互质的正整数,DBn那么m?n= ( )

A. 25 B.128 C.153 D.243 E.256 (美国数学统一考试题) 8.设a,b,c分别是△ABC的三边的长,且

aa?b,则它的内角∠A,∠B的关系是( ) ?ba?b?cA.∠B>2∠A B.∠B=2∠A C.∠B<2∠A D.不确定 9.如图,S?AFG?5a,S?ACG?4a,S?BFG?7a,则S?AEG?( ) A.

27282930a B.a C.a D.a 11111111

10. 满足两条直角边边长均为整数,且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有( ) A. 1个 B.2个 C.3个 D.无穷多个

11.如图,关于x的二次函数y?x?2mx?m的图象与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点(x2>0>x1),与y轴交于C点,且∠BAC=∠BCO. (1) 求这个二次函数的解析式;

(2) 以点D(2,0)为圆心⊙D,与y轴相切于点O,过=抛物线上一点E(x3,t)(t>0,x3<

0)作x轴的平行线与⊙D交于F,G两点,与抛物线交于另一点H.问是否存在实数t,使得EF+GH=

CF?如果存在,求出t的值;如果不存在,请说明理由. (武汉市中考题)

2yFAOC

EGDBHx

12.已知正数a,b,c,A,B,C满足a+A=b+B=c+C=k. 求证:aB十bC+cA<k.

13.如图,一个圆与一个正三角形的三边交于六点,已知AG=2,GF=13,FC=1,HI=7,求DE. (美国数学邀请赛试题)

2AHGIBDOFEC第13题图

14.射线QN与等边△ABC的两边AB,BC分别交于点M,N,且AC//QN,AM=MB= 2cm,QM= 4cm.动点P从点Q出发,沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动,经过t秒,以点P为圆心,3cm为半径的圆与△ABC的边相切(切点在边上).请写出t可以取的一切值:_______________(单位:秒).

ACQMBN

第14题图

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