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复数的三角形式
1、复数的三角形式
(1)复数的幅角：设复数Z=a＋bi对应向量半轴为始边，向量
，以x轴的正
所在的射线(起点为O)为终边的角θ，叫做
复数Z的辐角，记作ArgZ，其中适合0≤θ<2π的辐角θ的值，叫做辐角的主值，记作argZ．
说明：不等于零的复数Z的辐角有无限多个值，这些值中的任意两个相差2π的整数倍．
(2)复数的三角形式：r(cosθ＋isinθ)叫做复数Z=a＋bi的三角形式，其中
．
说明：任何一个复数Z=a＋bi均可表示成r(cosθ＋isinθ)的形式．其中r为Z的模，θ为Z的一个辐角． 2、复数的三角形式的运算：
设Z=r(cosθ＋isinθ)，Z1=r1(cosθ1＋isinθ1)，Z2=r2(cosθ2＋isinθ2)．则
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3、应用
例1求下列复数的模和辐角主值 （1）1?i （2）解：（1）
又（2）有
1?i?12?12?23?i
tan??b???arg（1?i）?a=1，点（1,1）在第一象限。所以4223?i?（3）?（?1）?2
3，?1tan???13，点（
?）在第四象限，所以
11?66
想一想：怎样求复数z?3?4i的辐角?
??arg（3?i）?2???想一想：复数的三角形式有哪些特征？下列各式是复数的三角形式吗？
? （?30?）?isin（?30?）（1）isin??cos? （2）2?cos（3）
5（cos5???isin）66
例2 把下列复数转化为三角形式 （1）-1；（2）2i； （3）
22r?（?1）?0解：（1）
3?i
（?1）??，所以 =1，辐角主值为?=arg
-1=cos??isin?
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22r?0?2?2 辐角主值为?=（2）
arg?2i???2，所以
2i=
2（cos??isin）22
?22r?（3）?（?1）?2，由（3）
tan???13??33（和点3，?1）在第
四象限，得
??arg（3?i）?2???6?11?6，
所以
3?i=
2（cos11?11??isin）66
总结：复数的代数形式z?a?bi化为复数的三角形式一般方
法步骤是：
22①求复数的模：r?a?b；②由
tan??b（a,b）a及点所在象限求出
复数的一个辐角（一般情况下，只须求出复数的辐角主值即可）；③写出复数的三角形式。
例3．求复数Z=1+cosθ+isinθ(π<θ<2π)的模与辐角主值. 分析:式子中多个“1”，只有将“1”消去，才能更接近三角形式，因此可利用三角公式消“1”.
解:Z=1+cosθ+isinθ=1+(2cos2-1)+2i·sincos=2cos(cos+isin)........(1) ∵ π<θ<2π ∴
<<π, ∴cos<0
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