2006年高考(福建卷)数学理试题答案
一．选择题：本大题考查基本概念和基本运算。每小题5分，满分60分。 （1）D （2）B （3）A （4）C （5）D （6）A （7）C （8）A （9）B （10）C （11）B （12）B 二．填空题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题4分满分16分。
（13）10 （14）
1452 （15） （16）(,) 4933三．解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本知识，以及推理和运算能力。满分12分。
解：（I）f(x)?1?cos2x3?sin2x?(1?cos2x) 22?313sin2x?cos2x?222
?3?sin(2x?)?.62
?f(x)的最小正周期T?由题意得2k??即 k??2???. 2?2?2x??6?2k???2,k?Z,
?3?x?k???6,k?Z.
?????f(x)的单调增区间为?k??,k???,k?Z.
36??（II）方法一：
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??个单位长度，得到y?sin(2x?)的图象，再把所得图象上1263?3所有的点向上平移个单位长度，就得到y?sin(2x?)?的图象。
262
先把y?sin2x图象上所有点向左平移
方法二：
把y?sin2x图象上所有的点按向量a?(??3,)平移，就得到y?sin(2x?)?的图象。 12262?3（18）本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空
间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。满分12分。 方法一：
A （I）证明：连结OC
BO?DO,AB?AD,?AO?BD.
MBO?DO,BC?CD,?CO?BD.
ODC在?AOC中，由已知可得AO?1,CO?3. 而AC?2,
BE?AO2?CO2?AC2, ??AOC?90o,即AO?OC.
BDOC?O, ?AO?平面BCD
（II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知ME∥AB,OE∥DC
?直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角
在?OME中，
EM?121AB?,OE?DC?1, 2221AC?1, 2OM是直角?AOC斜边AC上的中线，?OM?
?cos?OEM?2, 42. 4
?异面直线AB与CD所成角的大小为arccos（III）解：设点E到平面ACD的距离为h.
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VE?ACD?VA?CDE,
11?h.S?ACD?.AO.S?CDE.33在?ACD中，CA?CD?2,AD?2,
127?S?ACD??2?22?()2?.
222而AO?1,S?CDE?
1323??2?, 2421?32?21.
772
?h?AO.S?CDE?S?ACD
?点E到平面ACD的距离为方法二：
（I）同方法一。
21. 7（II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则B(1,0,0),D(?1,0,0),
13C(0,3,0),A(0,0,1),E(,,0),BA?(?1,0,1),CD?(?1,?3,0).
22?cos?BA,CD??BACD.BACD?2, 4
?异面直线AB与CD所成角
的大小为arccos2. 4zA
（III）解：设平面ACD的法向量为n?(x,y,z),则
??n.AD?(x,y,z).(?1,0,?1)?0, ???n.AC?(x,y,z).(0,3,?1)?0,??x?z?0,??
3y?z?0.??令y?1,得n?(?3,1,3)是平面ACD的一个法向量。
xBDOECy
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又EC?(?,13,0), 22?点E到平面ACD的距离 h?EC.nn?321?.
77（19）本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力。
满分12分。
解：（I）当x?40时，汽车从甲地到乙地行驶了要耗没(100?2.5小时， 4013?403??40?8)?2.5?17.5（升）。
12800080答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。
100小时，设耗油量为h(x)升， x131001280015x3?x?8).?x??(0?x?120), 依题意得h(x)?(12800080x1280x4（II）当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了
x800x3?803h'(x)??2?(0?x?120). 2640x640x令h'(x)?0,得x?80.
当x?(0,80)时，h'(x)?0,h(x)是减函数； 当x?(80,120)时，h'(x)?0,h(x)是增函数。
?当x?80时，h(x)取到极小值h(80)?11.25.
因为h(x)在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值。
答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。
（20）本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力。满分12分。
解：（I）
a2?2,b2?1,?c?1,F(?1,0),l:x??2. y圆过点O、F，
1?圆心M在直线x??上。
21设M(?,t),则圆半径
2BlFAGOx
13r?(?)?(?2)?.
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