4-3-2.三角形等高模型与鸟头模型
例题精讲
板块一 三角形等高模型
我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积?底?高?2
从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；
这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来1的，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和3底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．
在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图S1:S2?a:b
ABs1as2bCD
③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图S△ACD?S△BCD；
反之，如果S△ACD?S△BCD，则可知直线AB平行于CD．
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．
板块二 鸟头模型
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．
如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图 ⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上)，
则S△ABC:S△ADE?(AB?AC):(AD?AE)
4-3-2 三角形等高模型与鸟头模型 题库 page 1 of 11
DAADEBCEBC
图⑴ 图⑵
【例 1】 如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点，且AD:AB?2:5，AE:AC?4:7，
S△ADE?16平方厘米，求△ABC的面积．
AA
DEDEBCB
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接BE，S△ADE:S△ABE?AD:AB?2:5?(2?4):(5?4)， S△ABE:S△ABC?AE:AC?4:7?(4?5):(7?5)，所以S△ADE△C
:SABC?(?24?):(，设
S△ADE?8份，则S△ABC?35份，S△ADE?16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，△ABC的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ． 【答案】70
【巩固】如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的
面积等于1，那么三角形ABC的面积是多少？
AADEDEC BBC
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接BE． ∵EC?3AE ∴SABC?3SABE 又∵AB?5AD
∴SADE?SABE?5?SABC?15，∴SABC?15SADE?15． 【答案】15
【巩固】如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，BD?DC?4，BE?3，AE?6，
乙部分面积是甲部分面积的几倍？
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AEB甲E甲DA乙乙CBCD
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接AD． ∵BE?3，AE?6
∴AB?3BE，SABD?3SBDE 又∵BD?DC?4，
∴SABC?2SABD，∴SABC?6SBDE，S乙?5S甲．
【答案】5
【例 2】 如图在△ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:AD?5:2，
AE:EC?3:2，S△ADE?12平方厘米，求△ABC的面积．
DDAAEBCBE
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 连接BE，S△ADE:S△ABE?AD:AB?2:5?(2?3):(5?3)
S△ABE:S△ABC?AE:AC?3:(3?2)?(3?5):?(3?2)?5?，
C所以S△ADE:S△ABC?(3?2):?5?(3?2)??6:25，设S△ADE?6份，则S△ABC?25份，S△ADE?12平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，△ABC的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 【答案】50
【例 3】 如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF?2CF，三角形AFE(图
中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？
DCFBE
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接FB．三角形AFB面积是三角形CFB面积的2倍，而三角形AFB面积是三角形
AEF面积的2倍，所以三角形ABC面积是三角形AEF面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE面积的（3?2）?6倍．因此，平行四边形的面积为8?6?48(平方厘米)．
【答案】48
【例 4】 已知△DEF的面积为7平方厘米，BE?CE,AD?2BD,CF?3AF，求△ABC的
面积．
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