[推荐学习]年高考数学第二轮复习 平面向量教学案

生活的色彩就是学习

2011年高考第二轮专题复习(教学案):平面向量

考纲指要:

重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。

考点扫描:

1.向量的概念:①向量;②零向量;③单位向量;④平行向量(共线向量);⑤相等向量。

2.向量的运算:(1)向量加法;(2)向量的减法;(3)实数与向量的积。 3.基本定理:(1)两个向量共线定理;(2)平面向量的基本定理。 4.平面向量的坐标表示。 5.向量的数量积:(1)两个非零向量的夹角;(2)数量积的概念;(3)数量积的几何意义;(4)向量数量积的性质;(5)两个向量的数量积的坐标运算;(6)垂直:如果a与b的夹角为90则称a与b垂直,记作a⊥b。

0

6.向量的应用:(1)向量在几何中的应用;(2)向量在物理中的应用。

考题先知:

2

例1. 已知二次函数f(x)=x-2x+6,设向量a=(sinx,2),b=(2sinx,

1), 2c=(cos2x,1),d=(1,2).当x∈[0,π]时,不等式f(a·b)>f(c·d)的解集为___________.

22

解:a·b=2sinx+1≥1, c·d=cosx+1≥1 ,f(x)图象关于x=1对称,

∴f(x)在(1,+∞)内单调递增.

22

由f(a·b)>f(c·d)?a·b>c·d,即2sinx+1>2cosx+1,

又∵x∈[0,π] ,∴x∈(

例2.求函数y??3?4,4).故不等式的解集为(

?3?4,4).

x4?x2?1?x4?x2?1的值域.

分析:由于向量沟通了代数与几何的内在联系,因此本题利用向量的有关知识求函数的值域。 解:因为y?(x2?)2?(1223213)?(x2?)2?()2, 222所以构造向量p?(x?1313,),q?(x2?,),则y?p?q,而p?q?(1,0), 2222所以y?p?q?p?q?1,得?1?y?1,

另一方面:由(x2?)2?(123213)?(x2?)2?()2,得y?0, 222K12的学习需要努力专业专心坚持

生活的色彩就是学习 所以原函数的值域是[0,1).

点评:在向量这部分内容的学习过程中,我们接触了不少含不等式结构的式子,如等。 类比一:已知x2?6x?y2?4y?12,求u?3x?4y的最值。

解:已知等式可化为(x?3)2?(y?2)2?25,而u?3x?4?3(x?3)?(?4)(y?2)?17,所以构造向量a?(x?3,y?2),b?(3,?4),则u?a?b?17?25cos?a,b??17,从而最大值为42,最小值为8。

类比二:计算cos5??cos77??cos149??cos221??cos293?之值。

解:构造单位圆的内接正五边形ABCDE,使A(cos5?,sin5?),B(cos77?,sin77?),

C(cos149?,sin149?),D(cos221?,sin221?),E(cos293?,sin293?),则可证

OA?OB?OC?OD?OE?0,从而原式=0

类比三:已知实数x,y,z满足x?y?z?1,求证:x?y?z?解:构造空间向量a?(x,y,z),b?(1,1,1),即可。

复习智略:

例3.在直角坐标平面中,△ABC的两个顶点为 A(0,-1),B(0, 1)平面内两点G、M同时满足①GA?GB?GC?0 , ②|MA|= |MB|= |MC|③GM∥AB (1)求顶点C的轨迹E的方程

(2)设P、Q、R、N都在曲线E上 ,定点F的坐标为(2, 0) ,已知PF∥FQ , RF∥FN且PF·RF= 0.求四边形PRQN面积S的最大值和最小值. 解:(1)设C ( x , y ),

2221。 3GA?GB?2GO,由①知GC??2GO,

33?G为 △ABC的重心 , ? G(x,y)

由②知M是△ABC的外心,?M在x轴上 由③知M(

x,0), 3由|MC| ? |MA| 得()?1?x32x(x?)2?y2 3x2?y2?1(x≠0 ) 化简整理得:3K12的学习需要努力专业专心坚持

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x2?y2?1的右焦点 (2)F(2,0 )恰为3 设PQ的斜率为k≠0且k≠±

2,则直线PQ的方程为y = k ( x -2) 2由???y?k(x?2)2222?(3k?1)x?62kx?6k?3?0 22??x?3y?3?06k2?362k2设P(x1 , y1) ,Q (x2 ,y2 ) 则x1 + x2 = 2 , x1·x2 =2

3k?13k?162k226k2?3则| PQ | =1?k · (x1?x2)?4x1x2= 1?k ·(2 )?4?23k?13k?122223(k2?1)=

3k2?1123(k2?1)RN⊥PQ,把k换成?得 | RN | = 2k3?k16(k2?1)2 ?S =| PQ | · | RN |= =2?222(3k?1)(k?3)?3(k2?8)

13(k2?2)?10k18)?10? k22?S183k2?2≥2 , ?≥16?≤ S < 2 , (当 k = ±1时取等号)

k2?S23又当k不存在或k = 0时S = 2 综上可得 ≤ S ≤ 2

23 ?Smax = 2 , Smin =

2

检测评估:

1.设a0为单位向量,(1)若a为平面内的某个向量,则a=|a|·a0;(2)若a与a0平行,则a=|a|·a0;(3)若a与a0平行且|a|=1,则a=a0。上述命题中,假命题个数是( )

A.0

B.1

C.2

D.3

2.已知直线ax?by?c?0与圆x2?y2?1相交于A、B两点,且|AB|?3,则OA?OB K12的学习需要努力专业专心坚持

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