排列组合和概率二项式定理320041214

课 题: 10.4二项式定理(三)

教学目的:

1理解和掌握二项式系数的性质,并会简单的应用; 2.初步了解用赋值法是解决二项式系数问题;

3.能用函数的观点分析处理二项式系数的性质,提高分析问题和解决问题的能力 教学重点:二项式系数的性质及其对性质的理解和应用 教学难点:二项式系数的性质及其对性质的理解和应用 授课类型:新授课 课时安排:1课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入:

1.二项式定理及其特例:

n0n1n(1)(a?b)?Cna?Cnab?n1(2)(1?x)?1?Cnx?rn?rr?Cnab?nn?Cnb(n?N?),

rr?Cnx??xn.

rn?rr2.二项展开式的通项公式:Tr?1?Cnab 3.求常数项、有理项和系数最大的项时,要根据通项公式讨论对r的限制;求有理项时要注意到指数及项数的整数性 二、讲解新课:

1 二项式系数表(杨辉三角)

(a?b)n展开式的二项式系数,当n依次取1,2,3…时,

二项式系数表,表中每行两端都是1,除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 2.二项式系数的性质:

102nr(a?b)n展开式的二项式系数是Cn,Cn,Cn,…,Cn.Cn可以看成以r为自变量的函数f(r) 定义域是{0,1,2,,n},例当n?6时,其图象是7个孤立的

点(如图)

(1)对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等

mn?m(∵Cn?Cn).

直线r?n是图象的对称轴. 2kn(n?1)(n?2)(n?k?1)k?1n?k?1, ?Cn?k!kn?k?1n?k?1n?1kk?1∴Cn相对于Cn的增减情况由决定,, ?1?k?kk2n?1当k?时,二项式系数逐渐增大.由对称性知它的后半部分是逐渐减小的,

2(2)增减性与最大值.∵Cn?且在中间取得最大值;

当n是偶数时,中间一项C取得最大值;当n是奇数时,中间两项C取得最大值.

(3)各二项式系数和:

n1∵(1?x)?1?Cnx?rr?Cnx?n2nn?12n,Cn?12n?xn,

r?Cn?n?Cn n012令x?1,则2?Cn?Cn?Cn?三、讲解范例:

例1.在(a?b)的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 nn0n1n证明:在展开式(a?b)?Cna?Cnab?rn?rr?Cnab?nn?Cnb(n?N?)n0123中,令a?1,b??1,则(1?1)?Cn?Cn?Cn?Cn?02即0?(Cn?Cn?02∴Cn?Cn?13)?(Cn?Cn?n?(?1)nCn,

),

13?Cn?Cn?,

即在(a?b)的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.

02说明:由性质(3)及例1知Cn?Cn?72例2.已知(1?2x)?a0?a1x?a2x?n13?Cn?Cn??2n?1.

?a7x7,求:

a1?a2?(1)|a0|?|a1|??a7;a1?a3?a5?a7; (2) (3)

77?|a7|.

解:(1)当x?1时,(1?2x)?(1?2)??1,展开式右边为

a0?a1?a2?∴a0?a1?a2??a7

?a7??1,

?a7??1?1??2,

当x?0时,a0?1,∴a1?a2?(2)令x?1, a0?a1?a2??a7??1 ①

7令x??1,a0?a1?a2?a3?a4?a5?a6?a7?3 ②

1?37①?② 得:2(a1?a3?a5?a7)??1?3,∴ a1?a3?a5?a7??.

27(3)由展开式知:a1,a3,a5,a7均为负,a0,a2,a4,a8均为正,

7∴由(2)中①+② 得:2(a0?a2?a4?a6)??1?3,

?1?37∴ a0?a2?a4?a6?,

2∴|a0|?|a1|??|a7|?a0?a1?a2?a3?a4?a5?a6?a7

?(a0?a2?a4?a6)?(a1?a3?a5?a7)?37 例3.求(1+x)+(1+x)+…+(1+x)展开式中x的系数 2103

(1?x)[1?(1?x)10](1?x)?解:(1?x)?(1?x)??

1?(1?x)210(x?1)11?(x?1)=,

x∴原式中x实为这分子中的x,则所求系数为C11 347

例4.在(x+3x+2)的展开式中,求x的系数 25

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