双曲线及其标准方程（教学设计）
一、教学目标： 知识与技能：
（1）理解双曲线的定义及焦点、焦距的意义，掌握双曲线的标准方程． （2）根据不同的题设条件，正确区分两种不同的标准方程． 过程与方法：
（1）引导学生，通过与椭圆的对比去探索双曲线标准方程的推导，加深对数形结合思
想及事物类比的研究方法的认识．
（2）从建立坐标系、简化方程过程中，培养学生观察、分析、推理的能力． 情感态度与价值观：
（1）培养学生勇于探索，善于研究的精神．
（2）通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，实现共同探究、教学相长的教学氛围． 二、重点难点
重点：双曲线的定义及其标准方程的推导 难点：（1）理解2a?2c，2a?2c，及双曲线左、右支等不同的轨迹情形；
（2）令b2?c2?a2的思维过程，及焦点分别在x轴y轴上的标准方程形式． 三、教学设计 （一）情境设置
1、荆门市火力发电厂通风塔图片和演示截面图 2、初中代数中反比例函数的图象． 那么，双曲线是怎样形成的？ （二）、探索定义
1、模拟实验：取一条拉链，拉开一部分，在拉开的一边取其端点，在另一边中间部分取一点，分别固定在F1、F2两点处，把笔尖放在点M处，随着拉链逐渐拉开或合拢，笔尖就画出一条曲线．（演示模拟实验）
2、分析问题：
（1）动点M与定点F1、F2的距离之差保持怎样的关系？ （2）这个常数与|F1F2|大小关系？
（3）|MF1|与|MF2|大小关系与M点的位置有何关系?
3、定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线．
①定点F1、F2——焦点． ②距离|F1F2|=2c——焦距
思考题：由定义知||MF1|－|MF2||=2a(2a>0),2c=|F1F2|
若2a<2c，点M的轨迹是什么？ 符合双曲线的定义，应是双曲线 若2a=2c，点M的轨迹是什么？ 以F1、F2为端点的两条射线 若2a>2c，点M的轨迹是什么？ 由模拟实验讨论，轨迹不存在
（三）探求方程
1、双曲线方程的推导
解：①建系设点 以F1、F2所在直线为x轴，它们的中点为坐标原点，建立直角坐标系.设点M（x,y）是双曲线上任一点，F1(-c,0)，F2(c,0)，
②写出轨迹上动点M的适合条件
由定义可知M点满足MF1?MF2??2a
③列出方程 (x?c)?y?(x?c)?y??2a ④化简方程 移项(x?c)?y??2a?(x?c)?y
平方((x?c)?y)?(?2a?(x?c)?y)
22222222222222整理得cx?a2??a(x?c)2?y2 ，
即 (c?a)x?ay?a(c?a)
由双曲线定义可知2a?2c,即a?c,?c?a?0
2222222222x2y2设c?a=b，方程整理得2?2?1?a?0,b?0?
ab这是焦点在x轴上的双曲线的标准方程，其中F1(?c,0),F2(c,0)，
222焦点在y轴上的双曲线的标准方程为
y2x2?2?1(a?0,b?0) F1(0,?c),F2(0,c) 2ab2、判断下列双曲线方程焦点的位置
x2y2x2y2x2y2y2x2??1 ②??1 ③??1 ④ ???1 ①
43433434如何判断双曲线焦点在哪个坐标轴上？
3、双曲线标准方程与椭圆标准方程的比较 ① 双曲线标准方程中距离差“-”，有别于椭圆中距离和“+”，
22222
②双曲线标准方程中a、b、c的关系是c=a +b ,a>0，b>0；有别于椭圆方程中，c=a 2
-b ,a>b>0
22
③双曲线标准方程中，如果x项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y项的系数是正的，那么焦点在y轴上．有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上． （四）应用练习 例1 填空题
x2y2??1，则①a= ,b= ,c= (1)已知双曲线方程
916 ②焦点在 轴上，其坐标为 ，焦距为
x2y2x2y2??1(a?0)与双曲线??1的焦点相同，那么a= (2)如果椭圆
14a232例2
已知一动圆过定点M（-4，0）且与已知圆C：(x-3)+y=4相外切，求动圆圆心P的
轨迹方程
分析：根据双曲线的定义求解
22
解：设动圆P的半径为r(r>0)，圆 (x-3)+y=4的圆心为C (3,0),半径为2 则|PM|=r |PC|=r+2 ∴|PC|-|PM|=2<|MC|=6, 又|PC|>|PM|
∴P点的轨迹是以M、C为焦点的双曲线的左支
222
则c=3, a=1, b =c -a=8
2
2
y2?1 (x<0) ∴P点的轨迹方程为x?82（五）归纳小结
1、 椭圆与双曲线联系与区别 定义 椭圆 双曲线 MF1?MF2?2a MF1?MF2?2a 图形 标准方程 焦点坐标 焦点位置与标准方程的关系 x2y2??1 a2b2?a?b?0? F??c,0? y2x2??1 a2b2?a?b?0? F?0,?c? x2y2??1 a2b2?a?0,b?0? F??c,0? 2y2x2??1 a2b2?a?0,b?0? F?0,?c? 比较分母大小 若x项的系数是正的，那么焦点2在x轴上；若y项的系数是正的，焦点在y轴上 c=a +b 222a、b、c 222c=a -b 关系 2、布置作业 P108 习题8.3 1、3、4
双曲线及其标准方程（课堂实录）
（课前1分钟，播放片头，包括各种物体及音乐）
教师：前面我们学习了椭圆的定义和标准方程，并研究了这一圆锥曲线的几何性质．在刚才的片头中,我们还看到了许多物体，它们的外形是多种形式的优美曲线．今天我们来研究其中的一种曲线．
学生：（兴奋、疑惑、有求知欲）
（情境设置．片头中的一幅图片，火力发电厂通风塔）
教师：这是荆门市火力发电厂的通风塔，它的截面轮廊线是什么曲线？ （演示通风塔截面图）
教师：这种曲线我们似曾相识，初中代数中我们学习的反比例函数，它的图象就是这样的曲线．（作出y?11图象）为了使大家观察得更清楚，我们将y?的图象旋转45°．（旋xx转后又重新建立新的坐标系给出图象）
教师：（适时提出）它是什么曲线？ 学生：（回应热烈）双曲线 教师：很好 （板书）双曲线 教师：通风塔的截面轮廓线是双曲线的一部分，物理中双曲线型旋转体的通风效果是最好的．
（设计感悟：片头中的图片直观，引起学生对这课堂的兴趣，同时对双曲线有一个感性认识．演示通风塔截面图，从具体到抽象，将实际问题抽象为数学模型，有利于认识事物． y?1旋转后再建系，这样符合建系的原则，又为后面推导双曲线方程中建系埋下一x个伏笔．另外还注意了物理知识的渗透．）
教师：双曲线是怎样形成的？我们一起来探索一下． （边演示实验，边讲解）
教师：先来做一个实验：取一条拉链，拉开它的一部分，（动画1）在拉开的一边上取其端点，在另一边的中间部分取一点，分别固定在F1、F2两点处，使一边比另一边多出|F2N|．（动画2）在拉动的过程中，我们看到点M随之变动，选择拉链的好处是使得|MF1|与|MF2|增加的长度相同，都是蓝色部分．
教师：为了显示的更直观，将|MF1|与|MF2|平移放到下面来，再观察一次．（重新演示动