专题3：截长补短法
【典例引领】
例题：（2013黑龙江龙东地区）正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F。
（1）如图1，点O、B两点均在直线MN上方时，易证：AF+BF=2OE（不需证明）
（2）当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF、BF、OE之间又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明。
【答案】图2结论：AF﹣BF=2OE，图3结论：BF-AF=2OE
【分析】（1）过点B作BG⊥OE于G，可得四边形BGEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG，BF=GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE，OE=BG，再根据AF﹣EF=AE，整理即可得证；（2）选择图2，过点B作BG⊥OE交OE的延长线于G，可得四边形BGEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG，BF=GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE，OE=BG，再根据AF﹣EF=AE，整理即可得证；选择图3同理可证．
【解答】（1）证明：如图，
过点B作BG⊥OE于G，
1
则四边形BGEF是矩形， ∴EF=BG，BF=GE，
在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°， ∵BG⊥OE，
∴∠OBG+∠BOE=90°， 又∵∠AOE+∠BOE=90°， ∴∠AOE=∠OBG， ∵在△AOE和△OBG中，
，
∴△AOE≌△OBG（AAS）， ∴OG=AE，OE=BG，
∵AF﹣EF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OE﹣GE=OE﹣BF，∴AF﹣OE=OE﹣BF， ∴AF+BF=2OE；
（2）图2结论：AF﹣BF=2OE， 图3结论：AF﹣BF=2OE．
对图2证明：过点B作BG⊥OE交OE的延长线于G，
2
则四边形BGEF是矩形， ∴EF=BG，BF=GE，
在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°， ∵BG⊥OE，
∴∠OBG+∠BOE=90°， 又∵∠AOE+∠BOE=90°， ∴∠AOE=∠OBG， ∵在△AOE和△OBG中，
，
∴△AOE≌△OBG（AAS）， ∴OG=AE，OE=BG，
∵AF﹣EF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OE+GE=OE+BF，∴AF﹣OE=OE+BF， ∴AF﹣BF=2OE； 若选图3，其证明方法同上
．
【强化训练】
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