3-1 导数的概念及运算
13
1.(文)(2011·龙岩质检)f ′(x)是f(x)＝x＋2x＋1的导函数，则f ′(－1)的值是
3( )
A．1 B．2 C．3 D．4 [答案] C
[解析] ∵f ′(x)＝x＋2，∴f ′(－1)＝3.
(理)(2011·青岛质检)设f(x)＝xlnx，若f ′(x0)＝2，则x0＝( ) ln22
A．e B．e C. D．ln2
2[答案] B
[解析] f ′(x)＝1＋lnx，∴f ′(x0)＝1＋lnx0＝2， ∴lnx0＝1，∴x0＝e，故选B.
2．(2011·皖南八校联考)直线y＝kx＋b与曲线y＝x＋ax＋1相切于点(2,3)，则b的值为( )
A．－3
B．9
3
2
C．－15 D．－7 [答案] C
[解析] 将点(2,3)分别代入曲线y＝x＋ax＋1和直线y＝kx＋b，得a＝－3,2k＋b＝3. 又k＝y′|x＝2＝(3x－3)|x＝2＝9， ∴b＝3－2k＝3－18＝－15.
121
3．(文)(2011·广东省东莞市模拟)已知曲线y＝x的一条切线的斜率为，则切点的横
82坐标为( )
1
A．4 B．3 C．2 D. 2[答案] C
11
[解析] k＝y′＝x＝，∴x＝2.
42
(理)(2011·广东华南师大附中测试)曲线y＝2x在点P(1，2)处的切线方程是( ) A．4x－y－2＝0 C．4x＋y＋2＝0 [答案] A
[解析] k＝y′|x＝1＝4x|x＝1＝4，∴切线方程为y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0.
B．4x＋y－2＝0 D．4x－y＋2＝0
2
2
3
?π?当y′＝2时，x等于( )
4．(文)(2010·黑龙江省哈三中)已知y＝tanx，x∈?0，?，
2??
A.C.
π2
B.π 33ππ D. 46
[答案] C
?sinx?′＝cosx＋sinx＝1＝2，∴cos2x＝1，∴cosx＝[解析] y′＝(tanx)′＝??22
cosxcosx2?cosx?
±2
， 2
π?π?∵x∈?0，?，∴x＝. 2?4?
sinx(理)(2010·黑龙江省哈三中)已知y＝，x∈(0，π)，当y′＝2时，x等于( )
1＋cosxA.C.
π2π B. 33ππ D. 46
22
[答案] B cosx[解析] y′＝＝
＋cosx－sinx2＋cosx－sinx
11
＝2，∴cosx＝－，
1＋cosx2
2π∵x∈(0，π)，∴x＝.
3
13?4?5．(2011·山东淄博一中期末)曲线y＝x＋x在点?1，?处的切线与坐标轴围成的三角3?3?形面积为( )
112
A．1 B. C. D. 933[答案] B
42
[解析] ∵y′＝x＋1，∴k＝2，切线方程y－＝2(x－1)，即6x－3y－2＝0，令x＝0
3211121
得y＝－，令y＝0得x＝，∴S＝××＝. 332339
6．(文)已知f(x)＝logax(a>1)的导函数是f ′(x)，记A＝f ′(a)，B＝f(a＋1)－f(a)，
C＝f ′(a＋1)，则( )
A．A>B>C B．A>C>B C．B>A>C D．C>B>A [答案] A
[解析] 记M(a，f(a))，N(a＋1，f(a＋1))，则由于B＝f(a＋1)－f(a)＝
fa＋－fa，表示直线MN的斜率，A＝f ′(a)表示函数f(x)＝logax在点M处的切线
a＋－a斜率；C＝f ′(a＋1)表示函数f(x)＝logax在点N处的切线斜率．所以，A>B>C.
π??(理)设函数f(x)＝sin?ωx＋?－1(ω>0)的导函数f ′(x)的最大值为3，则f(x)图象6??的一条对称轴方程是( )
ππππ
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝ 9632[答案] A
π??[解析] f ′(x)＝ωcos?ωx＋?的最大值为3，
6??即ω＝3，
π??∴f(x)＝sin?3x＋?－1.
6??
πππkπ
由3x＋＝＋kπ得，x＝＋ (k∈Z)．
6293故A正确．
7．如图，函数y＝f(x)的图象在点P(5，f(5))处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f ′(5)＝________.
[答案] 2
[解析] 由条件知f ′(5)＝－1，又在点P处切线方程为y－f(5)＝－(x－5)，∴y＝－
x＋5＋f(5)，即y＝－x＋8，∴5＋f(5)＝8，∴f(5)＝3，∴f(5)＋f ′(5)＝2.
8．(文)(2011·北京模拟)已知函数f(x)＝3x＋2x－1在区间(m,0)上总有f ′(x)≤0
3
2