《导数》高三一轮复习训练 菁优网

《导数》高三一轮复习训练

参考答案与试题解析

一、解答题(共16小题,满分0分) 1.(2011?安徽)设

,其中a为正实数

(Ⅰ)当a=时,求f(x)的极值点;

(Ⅱ)若f(x)为R上的单调函数,求a的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性;一元二次不等式的解法. 专题: 分析: 计算题. (Ⅰ)首先对f(x)求导,将a=代入,令f′(x)=0,解出后判断根的两侧导函数的符号即可. (Ⅱ)因为a>0,所以f(x)为R上为增函数,f′(x)≥0在R上恒成立,转化为二次函数恒成立问题,只要△≤0即可. 解答: 解:对f(x)求导得 f′(x)=×e 2x(Ⅰ)当a=时,若f′(x)=0,则4x﹣8x+3=0,解得 结合①,可知 6

所以,是极小值点,是极大值点. (Ⅱ)若f(x)为R上的单调函数,则f′(x)在R上不变号, 2结合①与条件a>0知ax﹣2ax+1≥0在R上恒成立, 因此△=4a﹣4a=4a(a﹣1)≤0,由此并结合a>0,知0<a≤1. 本题考查求函数的极值问题、已知函数的单调性求参数范围问题,转化为不等式恒成立问题求解. 2点评: 2.(2011?北京)已知函数f(x)=(x﹣k)e. (Ⅰ)求f(x)的单调区间; (Ⅱ)求f(x)在区间[0,1]上的最小值. 考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. x

专题: 分析: 计算题;综合题;分类讨论. (I)求导,令导数等于零,解方程,跟据f′(x)f(x)随x的变化情况即可求出函数的单调区间;(Ⅱ)根据(I),对k﹣1是否在区间[0,1]内进行讨论,从而求得f(x)在区间[0,1]上的最小值. 7

解答: 解:(Ⅰ)f′(x)=(x﹣k+1)e, 令f′(x)=0,得x=k﹣1, f′(x)f(x)随x的变化情况如下: x (﹣∞,k﹣1) k﹣1 0 f′(x) ﹣ k﹣1↓ f(x) ﹣e ∴f(x)的单调递减区间是(﹣∞,k﹣1),f(x)的单调递增区间(k﹣1,+∞); (Ⅱ)当k﹣1≤0,即k≤1时,函数f(x)在区间[0,1]上单调递增, ∴f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)=﹣k; 当0<k﹣1<1,即1<k<2时,由(I)知,f(x)在区间[0,k﹣1]上单调递减,f(x)在区间(k﹣1,1]上单调递增, ∴f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k﹣1)=﹣e; 当k﹣1≥1,即k≥2时,函数f(x)在区间[0,1]上单调递减, ∴f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)=(1﹣k)e; 综上所述f(x)k﹣1xk min=. 8

点评: 此题是个中档题.考查利用导数研究函数的单调性和在闭区间上的最值问题,对方程f'(x)=0根是否在区间[0,1]内进行讨论,体现了分类讨论的思想方法,增加了题目的难度. 3.已知函数f(x)=x+3ax+(3﹣6a)x+12a﹣4(a∈R) (Ⅰ)证明:曲线y=f(x)在x=0的切线过点(2,2); (Ⅱ)若f(x)在x=x0处取得极小值,x0∈(1,3),求a的取值范围. 考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究曲线上某点切线方程. 32

专题: 分析: 计算题;压轴题. (Ⅰ)求出函数f(x)在x=0处的导数和f(0)的值,结合直线方程的点斜式方程,可求切线方程; (Ⅱ)f(x)在x=x0处取得最小值必是函数的极小值,可以先通过讨论导数的零点存在性,得出函数有极小值的a的大致取值范围,然后通过极小值对应的x0∈(1,3),解关于a的不等式,从而得出取值范围 9

解答: 解:(Ⅰ)f′(x)=3x+6ax+3﹣6a 由f(0)=12a﹣4,f′(0)=3﹣6a, 可得曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为y=(3﹣6a)x+12a﹣4, 当x=2时,y=2(3﹣6a)+12a﹣4=2,可得点(2,2)在切线上 ∴曲线y=f(x)在x=0的切线过点(2,2) (Ⅱ)由f′(x)=0得 2x+2ax+1﹣2a=0…(1) 方程(1)的根的判别式 2①当没有极小值 ②当或由f′(x)=0得时,函数f(x)时, 故x0=x2,由题设可知 (i)当时,不等式没有实数解; (ii)当时,不等式 化为a+1<解得综合①②,得a的取值范围是 <a+3, 10

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