《导数》高三一轮复习训练
参考答案与试题解析
一、解答题（共16小题，满分0分） 1．（2011?安徽）设
，其中a为正实数
（Ⅰ）当a=时，求f（x）的极值点；
（Ⅱ）若f（x）为R上的单调函数，求a的取值范围． 考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；一元二次不等式的解法． 专题： 分析： 计算题． （Ⅰ）首先对f（x）求导，将a=代入，令f′（x）=0，解出后判断根的两侧导函数的符号即可． （Ⅱ）因为a＞0，所以f（x）为R上为增函数，f′（x）≥0在R上恒成立，转化为二次函数恒成立问题，只要△≤0即可． 解答： 解：对f（x）求导得 f′（x）=×e 2x（Ⅰ）当a=时，若f′（x）=0，则4x﹣8x+3=0，解得 结合①，可知 6
所以，是极小值点，是极大值点． （Ⅱ）若f（x）为R上的单调函数，则f′（x）在R上不变号， 2结合①与条件a＞0知ax﹣2ax+1≥0在R上恒成立， 因此△=4a﹣4a=4a（a﹣1）≤0，由此并结合a＞0，知0＜a≤1． 本题考查求函数的极值问题、已知函数的单调性求参数范围问题，转化为不等式恒成立问题求解． 2点评： 2．（2011?北京）已知函数f（x）=（x﹣k）e． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）求f（x）在区间[0，1]上的最小值． 考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． x
专题： 分析： 计算题；综合题；分类讨论． （I）求导，令导数等于零，解方程，跟据f′（x）f（x）随x的变化情况即可求出函数的单调区间；（Ⅱ）根据（I），对k﹣1是否在区间[0，1]内进行讨论，从而求得f（x）在区间[0，1]上的最小值． 7
解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=（x﹣k+1）e， 令f′（x）=0，得x=k﹣1， f′（x）f（x）随x的变化情况如下： x （﹣∞，k﹣1） k﹣1 0 f′（x） ﹣ k﹣1↓ f（x） ﹣e ∴f（x）的单调递减区间是（﹣∞，k﹣1），f（x）的单调递增区间（k﹣1，+∞）； （Ⅱ）当k﹣1≤0，即k≤1时，函数f（x）在区间[0，1]上单调递增， ∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（0）=﹣k； 当0＜k﹣1＜1，即1＜k＜2时，由（I）知，f（x）在区间[0，k﹣1]上单调递减，f（x）在区间（k﹣1，1]上单调递增， ∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（k﹣1）=﹣e； 当k﹣1≥1，即k≥2时，函数f（x）在区间[0，1]上单调递减， ∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（1）=（1﹣k）e； 综上所述f（x）k﹣1xk min=． 8
点评： 此题是个中档题．考查利用导数研究函数的单调性和在闭区间上的最值问题，对方程f'（x）=0根是否在区间[0，1]内进行讨论，体现了分类讨论的思想方法，增加了题目的难度． 3．已知函数f（x）=x+3ax+（3﹣6a）x+12a﹣4（a∈R） （Ⅰ）证明：曲线y=f（x）在x=0的切线过点（2，2）； （Ⅱ）若f（x）在x=x0处取得极小值，x0∈（1，3），求a的取值范围． 考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程． 32
专题： 分析： 计算题；压轴题． （Ⅰ）求出函数f（x）在x=0处的导数和f（0）的值，结合直线方程的点斜式方程，可求切线方程； （Ⅱ）f（x）在x=x0处取得最小值必是函数的极小值，可以先通过讨论导数的零点存在性，得出函数有极小值的a的大致取值范围，然后通过极小值对应的x0∈（1，3），解关于a的不等式，从而得出取值范围 9
解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=3x+6ax+3﹣6a 由f（0）=12a﹣4，f′（0）=3﹣6a， 可得曲线y=f（x）在x=0处的切线方程为y=（3﹣6a）x+12a﹣4， 当x=2时，y=2（3﹣6a）+12a﹣4=2，可得点（2，2）在切线上 ∴曲线y=f（x）在x=0的切线过点（2，2） （Ⅱ）由f′（x）=0得 2x+2ax+1﹣2a=0…（1） 方程（1）的根的判别式 2①当没有极小值 ②当或由f′（x）=0得时，函数f（x）时， 故x0=x2，由题设可知 （i）当时，不等式没有实数解； （ii）当时，不等式 化为a+1＜解得综合①②，得a的取值范围是 ＜a+3， 10