点评： 将字母a看成常数，讨论关于x的三次多项式函数的极值点，是解决本题的难点，本题中处理关于a的无理不等式，计算也比较繁，因此本题对能力的要求比较高． 4．（2011?福建）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y=
+10（x﹣6），其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该
2
商品11千克． （Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大． 考点： 函数模型的选择与应用；利用导数研究函数的单调性． 专题： 分析： 应用题． （Ⅰ）由f（5）=11代入函数的解析式，解关于a的方程，可得a值； （Ⅱ）商场每日销售该商品所获得的利润=每日的销售量×销售该商品的单利润，可得日销售量的利润函数为关于x的三次多项式函数，再用求导数的方法讨论函数的单调性，得出函数的极大值点，从而得出最大值对应的x值． 解答： 解：（Ⅰ）因为x=5时，y=11，所以+10=11，故a=2 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，该商品每日的销售量 11
y= 所以商场每日销售该商品所获得的利润为 点评： 从而，f′（x）=10[（x﹣6）+2（x﹣3）（x﹣6）]=30（x﹣6）（x﹣4） 于是，当x变化时，f（x）、f′（x）的变化情况如下表： x 4 （3，4） 4+ 0 f'（x） f（x） 单调递增 极大值42 单由上表可得，x=4是函数f（x）在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点． 所以，当x=4时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于42 答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大． 本题函数解析式的建立比较容易，考查的重点是利用导数解决生活中的优化问题，属于中档题． 2 5．（2011?福建）已知a，b为常数，且a≠0，函数f（x）=﹣ax+b+axlnx，f（e）=2（e=2.71828…是自然对数的底数）． （Ⅰ）求实数b的值； （Ⅱ）求函数f（x）的单调区间； （Ⅲ）当a=1时，是否同时存在实数m和M（m＜M），使得对每一个t∈[m，M]，直线y=t与曲线y=f（x）（x∈[，e]）都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由． 考点： 利用导数研究函数的单调性． 专题： 计算题；综合题；压轴题；数形结合；分类讨论；转化思想． 分析： （I）把x=e代入函数f（x）=﹣ax+b+axlnx，解方程即可求得实数b的值； （II）求导，并判断导数的符号，确定函数的单调区间； （III）假设存在实数m和M（m＜M），使得对每一个t∈[m，M]，直线y=t与曲线y=f（x）（x∈[，e]）都有公共点，转化为利用导数 12
解答： 点评：
求函数y=f（x）在区间[，e]上的值域． 解：（I）由（fe）=2，代入（fx）=﹣ax+b+axlnx， 得b=2； （II）由（I）可得f（x）=﹣ax+2+axlnx，函数f（x）的定义域为（0，+∞）， 从而f′（x）=alnx， ∵a≠0，故 ①当a＞0时，由f′（x）＞0得x＞1，由f′（x）＜0得0＜x＜1； ②当a＜0时，由f′（x）＞0得0＜x＜1，由f′（x）＜0得x＞1； 综上，当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）； 当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）； （III）当a=1时，f（x）=﹣x+2+xlnx，f′（x）=lnx， 由（II）可得，当x∈（，e），f（x），f′（x）变化情况如下表： 又f（）=2﹣＜2， 所以y=f（x）在[，e]上的值域为[1，2]， 据此可得，若，则对每一个t∈[m，M]，直线y=t与曲线y=f（x）（x∈[，e]）都有公共点； 并且对每一个t∈（﹣∞，m）∪（M，+∞），直线y=t与曲线y=f（x）（x∈[，e]）都没有公共点； 综上当a=1时，存在最小实数m=1和最大的实数M=2（m＜M），使得对每一个t∈[m，M]，直线y=t与曲线y=f（x）（x∈[，e]）都有公共点． 此题是个难题．主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力和抽象概括能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，数形结合思想，化归和转化思想，分类与整合思想．其中问题（III）是一个开放性问题，考
13
查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力． 6．（2011?湖北）设函数f（x）=x+2ax+bx+a，g（x）=x﹣3x+2，其中x∈R，a、b为常数，已知曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线l． （Ⅰ） 求a、b的值，并写出切线l的方程； （Ⅱ）若方程f（x）+g（x）=mx有三个互不相同的实根0、x1、x2，其中x1＜x2，且对任意的x∈[x1，x2]，f（x）+g（x）＜m（x﹣1）恒成立，求实数m的取值范围． 322
考点： 专题： 分析： 函数与方程的综合运用；函数恒成立问题；利用导数研究曲线上某点切线方程． 综合题；压轴题；函数思想；转化思想． （I） 利用曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线l，可得f（2）=g（2）=0，f'（2）=g'（2）=1．即为关于a、b的方程，解方程即可． （II）把方程f（x）+g（x）=mx有三个互不相同的实根转化为x1，x2是x2﹣3x+2﹣m=0的两相异实根．求出实数m的取值范围以及x1，x2与实数m的关系，再把f（x）+g（x）＜m（x﹣1）恒成立问题转化为求函数f（x）+g（x）﹣mx在x∈[x1，x2]上的最大值，综合在一起即可求出实数m的取值范围． 14
解答： 解：（I） f'（x）=3x+4ax+b，g'（x）=2x﹣3． 由于曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线l． 故有f（2）=g（2）=0，f'（2）=g'（2）=1． 由此得，解得， 2所以a=﹣2，b=5..切线的方程为x﹣y﹣2=0． 32（II）由（I）得f（x）=x﹣4x+5x﹣2，所以32f（x）+g（x）=x﹣3x+2x． 2依题意，方程x（x﹣3x+2﹣m）=0，有三个互不相等的实根0，x1，x2， 2故x1，x2是x﹣3x+2﹣m=0的两相异实根． 所以△=9﹣4（2﹣m）＞0，解得m＞﹣． 又对任意的x∈[x1，x2]，f（x）+g（x）＜m（x﹣1）恒成立， 特别地取x=x1时，f（x1）+g（x1）＜m（x1﹣1）成立，得m＜0． 由韦达定理得x1+x2=3＞0，x1x2=2﹣m＞0．故0＜x1＜x2． 对任意的x∈[x1，x2]，x﹣x2≤0，x﹣x1≥0，x＞0． 则f（x）+g（x）﹣mx=x（x﹣x1）（x﹣x2）≤0，又f（x1）+g（x1）﹣mx1=0． 所以f（x）+g（x）﹣mx在x∈[x1，x2]上的最大值为0． 于是当m＜0，对任意的x∈[x1，x2]，f（x）+g（x）＜m（x﹣1）恒成立， 综上得：实数m的取值范围是（﹣，0）． 点评： 本题主要考查函数，导数，不等式等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能立，以及函数与方程和特殊与一般的思想． 7．（2011?湖南）设函数f（x）=x﹣﹣alnx（a∈R）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．
（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1，x2，记过点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直线斜率为k．问：是否存在a，使得k=2﹣a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
15