《导数》高三一轮复习训练 菁优网

点评: 将字母a看成常数,讨论关于x的三次多项式函数的极值点,是解决本题的难点,本题中处理关于a的无理不等式,计算也比较繁,因此本题对能力的要求比较高. 4.(2011?福建)某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=

+10(x﹣6),其中3<x<6,a为常数.已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该

2

商品11千克. (Ⅰ)求a的值; (Ⅱ)若该商品的成品为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大. 考点: 函数模型的选择与应用;利用导数研究函数的单调性. 专题: 分析: 应用题. (Ⅰ)由f(5)=11代入函数的解析式,解关于a的方程,可得a值; (Ⅱ)商场每日销售该商品所获得的利润=每日的销售量×销售该商品的单利润,可得日销售量的利润函数为关于x的三次多项式函数,再用求导数的方法讨论函数的单调性,得出函数的极大值点,从而得出最大值对应的x值. 解答: 解:(Ⅰ)因为x=5时,y=11,所以+10=11,故a=2 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,该商品每日的销售量 11

y= 所以商场每日销售该商品所获得的利润为 点评: 从而,f′(x)=10[(x﹣6)+2(x﹣3)(x﹣6)]=30(x﹣6)(x﹣4) 于是,当x变化时,f(x)、f′(x)的变化情况如下表: x 4 (3,4) 4+ 0 f'(x) f(x) 单调递增 极大值42 单由上表可得,x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点. 所以,当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42 答:当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大. 本题函数解析式的建立比较容易,考查的重点是利用导数解决生活中的优化问题,属于中档题. 2 5.(2011?福建)已知a,b为常数,且a≠0,函数f(x)=﹣ax+b+axlnx,f(e)=2(e=2.71828…是自然对数的底数). (Ⅰ)求实数b的值; (Ⅱ)求函数f(x)的单调区间; (Ⅲ)当a=1时,是否同时存在实数m和M(m<M),使得对每一个t∈[m,M],直线y=t与曲线y=f(x)(x∈[,e])都有公共点?若存在,求出最小的实数m和最大的实数M;若不存在,说明理由. 考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 计算题;综合题;压轴题;数形结合;分类讨论;转化思想. 分析: (I)把x=e代入函数f(x)=﹣ax+b+axlnx,解方程即可求得实数b的值; (II)求导,并判断导数的符号,确定函数的单调区间; (III)假设存在实数m和M(m<M),使得对每一个t∈[m,M],直线y=t与曲线y=f(x)(x∈[,e])都有公共点,转化为利用导数 12

解答: 点评:

求函数y=f(x)在区间[,e]上的值域. 解:(I)由(fe)=2,代入(fx)=﹣ax+b+axlnx, 得b=2; (II)由(I)可得f(x)=﹣ax+2+axlnx,函数f(x)的定义域为(0,+∞), 从而f′(x)=alnx, ∵a≠0,故 ①当a>0时,由f′(x)>0得x>1,由f′(x)<0得0<x<1; ②当a<0时,由f′(x)>0得0<x<1,由f′(x)<0得x>1; 综上,当a>0时,函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1); 当a<0时,函数f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞); (III)当a=1时,f(x)=﹣x+2+xlnx,f′(x)=lnx, 由(II)可得,当x∈(,e),f(x),f′(x)变化情况如下表: 又f()=2﹣<2, 所以y=f(x)在[,e]上的值域为[1,2], 据此可得,若,则对每一个t∈[m,M],直线y=t与曲线y=f(x)(x∈[,e])都有公共点; 并且对每一个t∈(﹣∞,m)∪(M,+∞),直线y=t与曲线y=f(x)(x∈[,e])都没有公共点; 综上当a=1时,存在最小实数m=1和最大的实数M=2(m<M),使得对每一个t∈[m,M],直线y=t与曲线y=f(x)(x∈[,e])都有公共点. 此题是个难题.主要考查函数、导数等基础知识,考查推理论证能力和抽象概括能力、运算求解能力,考查函数与方程思想,数形结合思想,化归和转化思想,分类与整合思想.其中问题(III)是一个开放性问题,考

13

查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力. 6.(2011?湖北)设函数f(x)=x+2ax+bx+a,g(x)=x﹣3x+2,其中x∈R,a、b为常数,已知曲线y=f(x)与y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线l. (Ⅰ) 求a、b的值,并写出切线l的方程; (Ⅱ)若方程f(x)+g(x)=mx有三个互不相同的实根0、x1、x2,其中x1<x2,且对任意的x∈[x1,x2],f(x)+g(x)<m(x﹣1)恒成立,求实数m的取值范围. 322

考点: 专题: 分析: 函数与方程的综合运用;函数恒成立问题;利用导数研究曲线上某点切线方程. 综合题;压轴题;函数思想;转化思想. (I) 利用曲线y=f(x)与y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线l,可得f(2)=g(2)=0,f'(2)=g'(2)=1.即为关于a、b的方程,解方程即可. (II)把方程f(x)+g(x)=mx有三个互不相同的实根转化为x1,x2是x2﹣3x+2﹣m=0的两相异实根.求出实数m的取值范围以及x1,x2与实数m的关系,再把f(x)+g(x)<m(x﹣1)恒成立问题转化为求函数f(x)+g(x)﹣mx在x∈[x1,x2]上的最大值,综合在一起即可求出实数m的取值范围. 14

解答: 解:(I) f'(x)=3x+4ax+b,g'(x)=2x﹣3. 由于曲线y=f(x)与y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线l. 故有f(2)=g(2)=0,f'(2)=g'(2)=1. 由此得,解得, 2所以a=﹣2,b=5..切线的方程为x﹣y﹣2=0. 32(II)由(I)得f(x)=x﹣4x+5x﹣2,所以32f(x)+g(x)=x﹣3x+2x. 2依题意,方程x(x﹣3x+2﹣m)=0,有三个互不相等的实根0,x1,x2, 2故x1,x2是x﹣3x+2﹣m=0的两相异实根. 所以△=9﹣4(2﹣m)>0,解得m>﹣. 又对任意的x∈[x1,x2],f(x)+g(x)<m(x﹣1)恒成立, 特别地取x=x1时,f(x1)+g(x1)<m(x1﹣1)成立,得m<0. 由韦达定理得x1+x2=3>0,x1x2=2﹣m>0.故0<x1<x2. 对任意的x∈[x1,x2],x﹣x2≤0,x﹣x1≥0,x>0. 则f(x)+g(x)﹣mx=x(x﹣x1)(x﹣x2)≤0,又f(x1)+g(x1)﹣mx1=0. 所以f(x)+g(x)﹣mx在x∈[x1,x2]上的最大值为0. 于是当m<0,对任意的x∈[x1,x2],f(x)+g(x)<m(x﹣1)恒成立, 综上得:实数m的取值范围是(﹣,0). 点评: 本题主要考查函数,导数,不等式等基础知识,同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能立,以及函数与方程和特殊与一般的思想. 7.(2011?湖南)设函数f(x)=x﹣﹣alnx(a∈R).

(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性.

(Ⅱ)若f(x)有两个极值点x1,x2,记过点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))的直线斜率为k.问:是否存在a,使得k=2﹣a?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.

15

联系客服:779662525#qq.com(#替换为@) 苏ICP备20003344号-4