考点： 专题： 分析： 解答： 利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件． 计算题；综合题；压轴题；分类讨论． （Ⅰ）求导，令导数等于零，解方程，跟据f′（x）（fx）随x的变化情况即可求出函数的单调区间； （Ⅱ）假设存在a，使得k=2﹣a，根据（I）利用韦达定理求出直线斜率为k，根据（I）函数的单调性，推出矛盾，即可解决问题． 解：（I）f（x）定义域为（0，+∞）， f′（x）=1+， 令g（x）=x2﹣ax+1，△=a2﹣4， ①当﹣2≤a≤2时，△≤0，f′（x）≥0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增， ②当a＜﹣2时，△＞0，g（x）=0的两根都小于零，在（0，+∞）上，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增， ③当a＞2时，△＞0，g（x）=0的两根为x1=，x2=， 当0＜x＜x1时，f′（x）＞0；当x1＜x＜x2时，f′（x）＜0；当x＞x2时，f′（x）＞0； 故f（x）分别在（0，x1），（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减． （Ⅱ）由（I）知，a＞2． 因为f（x1）﹣f（x2）=（x1﹣x2）+﹣a（lnx1﹣lnx2）， 所以k==1+﹣16
a， 又由（I）知，x1x2=1．于是 k=2﹣a， 若存在a，使得k=2﹣a，则即lnx1﹣lnx2=x1﹣x2， 亦即再由（I）知，函数+∞）上单调递增， 而x2＞1， 所以=1， （*） 在（0，＞1﹣1﹣2ln1=0，这与（*）式矛盾， 故不存在a，使得k=2﹣a． 点评： 此题是个难题．考查利用导数研究函数的单调性和极值问题，对方程f'（x）=0有无实根，有实根时，根是否在定义域内和根大小进行讨论，体现了分类讨论的思想方法，其中问题（II）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力． 8．（2011?江西）设（1）若f（x）在
上存在单调递增区间，求a的取值范围．
，求f（x）在该区间上的最大值．
（2）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]的最小值为
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考点： 专题： 分析： 解答： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 计算题． （1）利用函数递增，导函数大于0恒成立，求出导函数的最大值，使最大值大于0． （2）求出导函数的根，判断出根左右两边的导函数的符号，求出端点值的大小，求出最小值，列出方程求出a，求出最大值． 解：（1）f′（x）=﹣x2+x+2a f（x）在存在单调递增区间 ∴f′（x）＞0在有解 ∵f′（x）=﹣x2+x+2a对称轴为 ∴递减 ∴ 解得． （2）当0＜a＜2时，△＞0； f′（x）=0得到两个根为；（舍） ∵ ∴时，f′（x）＞0；时，f′（x）＜0 当x=1时，f（1）=2a+；当x=4时，f（4） 18
=8a＜f（1） =解得a=1 时最大为 当x=4时最小∴所以当x=点评： 本题考查利用导函数求参数的范围、利用导函数求函数的单调性、求函数的最值． 9．（2011?江西）设f（x）=x+mx+nx．
（1）如果g（x）=f′（x）﹣2x﹣3在x=﹣2处取得最小值﹣5，求f（x）的解析式；
（2）如果m+n＜10（m，n∈N），f（x）在单调递减区间的长度是正整数，试求m和n的值．（注：区间（a，b）的长度为b﹣a） 考点： 利用导数研究函数的单调性；函数解析式的求解及常用方法；利用导数求闭区间上函数的最值． 32
+
专题： 分析： 压轴题． （1）先由导数知识求出g（x），然后利用配方法把二次函数g（x）表示成顶点式，再根据g（x） 在x=﹣2处取得最小值﹣5，可列方程组求得m、n的值，则问题解决． 2（2）首先求出（fx）的导函数f′（x）=x+2mx+n（二次函数），然后根据f（x）的单调递减区间的长度是正整数，可判断函数f′（x）2=x+2mx+n有两个不同的零点x1、x2，且利
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用根与系数的关系能表示出|x1﹣x2|=2，再由“此长度是正整数”且+解答： “m+n＜10（m，n∈N）”为突破口，对m、n进行分类讨论，最后找到满足要求的m、n． 解：（1）由题意得g（x）=f′（x）﹣2x﹣223=x+2mx+n﹣2x﹣3=（x+m﹣1）+（n﹣3）2﹣（m﹣1）， 又g（x） 在x=﹣2处取得最小值﹣5， 所以，解得m=3，n=2． 所以f（x）=x+3x+2x． （2）因为f′（x）=x+2mx+n且f（x）的单调递减区间的长度是正整数， 2所以方程f′（x）=0，即x+2mx+n=0必有两不等实根， 则△=4m﹣4n＞0，即m＞n． 不妨设方程f′（x）=0的两根分别为x1、x2，则|x1﹣x2|=且为正整数． 又因为m+n＜10（m，n∈N），所以m≥2时才能有满足条件的m、n． 当m=2时，只有n=3符合要求； 当m=3时，只有n=5符合要求； 当m≥4时，没有符合要求的n． 故只有m=2，n=3或m=3，n=5满足上述要求． 本题考查了幂函数的求导公式、二次函数的最值及一元二次方程根与系数的关系；更主要的是考查利用导数研究函数单调性的方法及分类讨论的思想方法． +22232=2点评： 10．已知函数f（x）=（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）如果当x＞0，且x≠1时，f（x）＞ 考点： +，求k的取值范围．
+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3=0．
利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用． 20