点评： 本题着重考查导数的几何意义，以及利用导数讨论函数的单调性，求函数的最值，是一道常见的函数题． 13．（2011?陕西）设f（x）=lnx，g（x）=f（x）+f′（x）． （Ⅰ）求g（x）的单调区间和最小值； （Ⅱ）讨论g（x）与
的大小关系；
（Ⅲ）求a的取值范围，使得g（a）﹣g（x）＜对任意x＞0成立． 考点： 专题： 分析： 利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用． 计算题；综合题；压轴题；转化思想． （I）求导，并判断导数的符号确定函数的单调区间和极值、最值，即可求得结果； （Ⅱ）通过函数的导数，利用函数的单调性，半径两个函数的大小关系即可． （Ⅲ）利用（Ⅰ）的结论，转化不等式，求解即可． 26
解答： 解：（Ⅰ）由题设知f（x）=lnx，g（x）=lnx+， ∴g'（x）=，令g′（x）=0得x=1， 当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，故（0，1）是g（x）的单调减区间． 当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，故（1，+∞）是g（x）的单调递增区间， 因此，x=1是g（x）的唯一值点，且为极小值点， 从而是最小值点，所以最小值为g（1）=1． （II）设 ，则h'（x）=﹣， 当x=1时，h（1）=0，即， 当x∈（0，1）∪（1，+∞）时，h′（1）=0， 因此，h（x）在（0，+∞）内单调递减， 当0＜x＜1时，h（x）＞h（1）=0，即， 当x＞1时，h（x）＜h（1）=0，即． （III）由（I）知g（x）的最小值为1， 所以，g（a）﹣g（x）＜，对任意x＞0，成立?g（a）﹣1＜， 即Ina＜1，从而得0＜a＜e． 27
点评： 此题是个难题．主要考查导数等基础知识，考查推理论证能力和、运算求解能力，考查函数与方程思想，数形结合思想，化归和转化思想，分类与整合思想．其考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力． 14．（2011?天津）已知函数f（x）=4x+3tx﹣6tx+t﹣1，x∈R，其中t∈R． （Ⅰ）当t=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （Ⅱ）当t≠0时，求f（x）的单调区间； （Ⅲ）证明：对任意的t∈（0，+∞），f（x）在区间（0，1）内均存在零点． 考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点；利用导数研究函数的单调性． 322
专题： 计算题；压轴题． 28
分析： 解答： （I）当t=1时，求出函数f（x），利用导数的几何意义求出x=0处的切线的斜率，利用点斜式求出切线方程； （II）根据f'（0）=0，解得x=﹣t或x=，讨论t的正负，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0求出单调区间即可； （III）根据函数的单调性分两种情况讨论，当≥1与当0＜＜1时，研究函数的单调性，然后根据区间端点的符号进行判定对任意t∈（0，2），f（x）在区间（0，1）内均存在零点从而得到结论． 解：（I）当t=1时，f（x）=4x3+3x2﹣6x，f（0）=0 f'（x）=12x2+6x﹣6，f'（0）=﹣6，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=﹣6x． （II）解：f'（x）=12x2+6tx﹣6t2，f'（0）=0，解得x=﹣t或x= ∵t≠0，以下分两种情况讨论： （1）若t＜0，则＜﹣t，∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，），（﹣t，+∞）；f（x）的单调减区间是（，﹣t） 29
点评：
（2）若t＞0，则＞﹣t，∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣t），（，+∞）；f（x）的单调减区间是（﹣t，） （III）证明：由（II）可知，当t＞0时，f（x）在（0，）内单调递减，在（，+∞）内单调递增，以下分两种情况讨论： （1）当≥1，即t≥2时，f（x）在（0，1）内单调递减． f（0）=t﹣1＞0，f（1）=﹣6t2+4t+3≤﹣13＜0 所以对于任意t∈[2，+∞），f（x）在区间（0，1）内均存在零点． （2）当0＜＜1，即0＜t＜2时，f（x）在（0，）内单调递减，在（，1）内单调递增 若t∈（0，1]，f（）=+t﹣1≤＜0， f（1）=）=﹣6t2+4t+3≥﹣2t+3＞0 所以f（x）在（，1）内存在零点． 若t∈（1，2），（f）=+t﹣1＜+1＜0， f（0）=t﹣1＞0∴f（x）在（0，）内存在零点． 所以，对任意t∈（0，2），f（x）在区间（0，1）内均存在零点． 综上，对于任意t∈（0，+∞），f（x）在区间（0，1）内均存在零点． 本题主要考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数零点、解不等式等基础知识，考查了计算能力和分类讨论的思想．
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