第六章 弯曲应力
1 基本概念及知识要点
1.1 基本概念
纯弯曲、横力弯曲、弯曲正应力、惯性矩、抗弯截面系数、弯曲刚度、弯曲切应力（剪应力）。应熟练理解和掌握这些基本概念。
1.2 平面弯曲
工程实际中的梁，大多数是具有一个纵向对称面的等截面直梁。
外载荷作用在梁的纵向对称面内，并垂直于梁的轴线，梁弯曲时轴线将在对称平面内弯曲成平面曲线，这种弯曲叫平面弯曲。当梁横截面上既有弯矩又有剪力时，梁的弯曲是横力弯曲（或剪切弯曲）；梁横截面上只有弯矩而没有剪力时，梁的弯曲是纯弯曲。
1.3 弯曲正应力
梁在纯弯曲时的正应力是综合运用变形几何关系、物理关系和静力平衡关系推导出来的，推导弯曲正应力公式的方法，与推导轴向拉压正应力公式和扭转切应力公式的方法相同。弯曲正应力公式
??My Iz式中M为所研究截面的弯矩；Iz分为截面图形对中性轴的惯性矩；y为所求应力点到中性轴的距离。计算时，M和y均用代数值代入，由此得到所求点的应力符号，同样也可根据梁的变形情况来确定。梁弯曲正应力公式适用材料处于线弹性范围内的纯弯曲梁，可推广到横力弯曲以及小曲率杆的弯曲中。
1.4 弯曲切应力
弯曲切应力公式的推导不是按照变形几何关系、物理关系、平衡关系三方面进行的，而是根据分析对弯曲切应力的分布规律作出假定——平行于剪力Fs且沿截面厚度均匀分布，然后利用平衡关系直接导出矩形截面切应力公式
*FsSz ??bIz式中，Fs为截面上的剪力；Iz为整个截面对中性轴的惯性矩；b为所求切应力处横截面的
*宽度；Sz为截面上距中性轴为y的横线任一侧部分面积对中性轴的静矩。
1.5 弯曲强度条件
1 正应力强度条件
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弯曲正应力是影响梁强度的主要因素，对梁（等截面梁）的强度计算主要是满足正应力强度条件
?max?Mmax?[?] Wz式中Wz?Iz称为横截面的抗弯截面系数。 ymax 对于塑性材料，其抗拉和抗压能力相等，通常将梁设计为与中性轴对称的形状，强度条件为
?max?Mmax?[?] Wz 对于脆性材料，其抗压能力远超过抗拉能力。通常将梁设计为与中性轴不对称的形状，使中性轴偏向受拉一侧（请读者思考为什么？）。强度条件为
?tmax??cmax?2 切应力强度条件
Mmaxy1?[?t] IzMmaxy2?[?c] Iz对薄壁截面（例如工字型、槽型等）梁，有时需要校核弯曲切应力强度条件
*Fsmax(Sz)max???[?]
bIz*?max一般发生在中性轴处，因此(Sz)max为中性轴以下（或以上）面积对中性轴的静矩。
1.6 弯曲中心的概念
当横向力作用平面平行于开口薄壁杆件的形心主惯性平面且通过某一特定点时，杆件只发生弯曲变形而不发生扭转变形，这一点称为开口薄壁杆件的弯曲中心。弯曲中心只与截面的几何形状及尺寸有关，具有对称轴的截面的弯曲中心必然在对称轴上。
2 重点与难点及解析方法
2.1 弯曲正应力的计算
平面弯曲时，既不伸长也不缩短的轴叫中性轴，中性轴通过截面的形心。横截面上的弯曲正应力呈线性分布，最大弯曲正应力发生在距离中性轴最远的点上。
解析方法：中性轴通过截面的形心的结论，是在轴力为零及材料拉压弹性模量相
等的情况下得出的，否则中性轴将偏移，此时应由轴向力平衡方程求中性轴的位置。
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2.2 梁的弯曲强度计算
梁的弯曲强度计算是材料力学的重要问题，应通过大量不同类型的弯曲强度计算熟练掌握。
解析方法：1.根据梁所受载荷及约束力，正确画出梁的剪力图和弯矩图，确定Fsmax和
Mmax作用面，即危险截面。
2. 根据截面上的应力分布，判断危险截面上的危险点，即?max和?max作用点（注意二者不一定在同一截面，更不在同一点），并计算?max和?max数值。 3． 对?max和?max作用点分别采用不同的强度条件进行强度计算。
对于细长梁，正应力与切应力相比，正应力对强度的影响是主要的。因此一般只需按正应力进行强度计算。只有当某些受力情形下，个别截面上的剪力较大时，才考虑切应力的强度。
在应用强度条件进行梁的截面设计时，一般先按正应力强度条件选择截面，然后再进行切应力强度校核。
2.3 提高梁弯曲强度的途径
弯曲正应力公式可变形为Mmax?Wz[?]?[M]，式左侧为由载荷引起的最大弯矩；式
右侧为构件的许用弯矩，它与两个因素Wy和[?]有关。所以提高构件的弯曲强度有两种：减小Mmax；提高Wy和[?]。
3 典型问题解析
例题6.1：
一铸铁梁的受力如图6－1（a）所示，其截面尺寸如图6－1（b）所示。试求梁内的最5 大弯曲正应力。
??????x 3.5 M(kN.m) (c)
解：
1 求约束反力并作内力图
由平衡方程求得 FRA?3.5kN FRB?13.5k N
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图6－1