华东师范大学数学系编《数学分析》第三版上册教案 第一章实数集与函数 黔西南民族师专数学系
§2数集和确界原理
授课章节：第一章实数集与函数——§2数集和确界原理
教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念. 教学要求：
(1)掌握邻域的概念；
(2)理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用. 教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）. 教学难点：确界的定义及其应用. 教学方法：讲授为主.
教学程序：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课.
引 言
上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章§1实数的相关内容.下面，我们先来检验一下自学的效果如何！
1、证明：对任何x?R有：(1)|x?1|?|x?2|?1；(2) |x?1|?|x?2|?|x?3|?2. （（）1x?1?1?(x?2)?1?x?2,?x?1?x?2?1）
（（2）x?1?x?2?1,x?2?x?3?1,x?2?x?3?2.三式相加化简即可） 2、证明：|x|?|y|?|x?y|.
3、设a,b?R，证明：若对任何正数?有a?b??，则a?b. 4、设x,y?R,x?y，证明：存在有理数r满足y?r?x.
[引申]：①由题1可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的经常的思路之一.而不要做完就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一般的方法？②由上述几个小题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象；③课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语言应用.提请注意这种差别，尽快掌握本门课程的术语和工具.
本节主要内容：
1、先定义实数集R中的两类主要的数集——区间与邻域； 2、讨论有界集与无界集；
3、由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）.
一 、区间与邻域
1、区间（用来表示变量的变化范围）
?有限区间设a,b?R且a?b.区间?，其中
?无限区间 6
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?开区间: ?x?R|a?x?b??(a,b)???闭区间: ?x?R|a?x?b??[a,b]?有限区间????闭开区间:?x?R|a?x?b??[a,b)?半开半闭区间?????开闭区间:?x?R|a?x?b??(a,b]?
??x?R|x?a??[a,??).???x?R|x?a??(??,a].?无限区间??x?R|x?a??(a,??).
??x?R|x?a??(??,a).????x?R|???x?????R.2、邻域
联想：“邻居”.字面意思：“邻近的区域”.与a邻近的“区域”很多，到底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于a的对称区间”；如何用数学语言来表达呢？
（1）a的?邻域：设a?R,??0，满足不等式|x?a|??的全体实数x的集合称为点a的?邻域，记作U(a;?)，或简记为U(a)，即
U(a;?)??x|x?a|????(a??,a??).
其中a称为该邻域的中心，?称为该邻域的半径.
（2）点a的空心?邻域
Uo(a;?)??x0?|x?a|????(a??,a)?(a,a??)Uo(a).
（3）a的?右邻域和点a的空心?右邻域
U?(a;?)?[a,a??)U?(a)??xa?x?a???;U?(a;?)?(a,a??)U?(a)??xa?x?a???.00
（4）点a的?左邻域和点a的空心?左邻域
U?(a;?)?(a??,a]U?(a)??xa???x?a?;U(a;?)?(a??,a)U?(a)??xa???x?a?.0?0
（5）?邻域，??邻域，??邻域
U(?)??x|x|?M?,（其中M为充分大的正数）； U(??)??xx?M?,U(??)??xx??M?
二 、有界集与无界集
1、 定义1（上、下界）：设S为R中的一个数集.若存在数M(L)，使得一切x?S都有
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x?M(x?L)，则称S为有上（下）界的数集.数M(L)称为S的上界（下界）；若数集S
既有上界，又有下界，则称S为有界集.
闭区间?a,b?、开区间(a,b) (a,b为有限数）、邻域等都是有界数集， 集合 E??y y?sinx, x? ( ?? , ?? )?也是有界数集. 若数集S不是有界集，则称S为无界集.
( ?? , ?? ) , ( ?? , 0 ) , ( 0 , ?? )等都是无界数集,
1??集合 E??y y?, x?( 0 , 1 )?也是无界数集.
x??注：1）上（下）界若存在，不唯一；
2）上（下）界与S的关系如何？看下例： 例1 讨论数集N???n|n为正整数?的有界性. 解：任取n0?N?，显然有n0?1，所以N?有下界1；
但N?无上界.因为假设N?有上界M,则M>0，按定义，对任意n0?N?，都有n0?M，这是不可能的，如取n0?[M]?（符号则n0?N?，且n0?M. 1?M?表示不超过M的最大整数），综上所述知：N?是有下界无上界的数集，因而是无界集.
例2证明：（1）任何有限区间都是有界集；（2）无限区间都是无界集；（3）由有限个
数组成的数集是有界集.
[问题]：若数集S有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？(答：不唯一 ，有无穷多个).
三 、确界与确界原理
1、定义
定义2（上确界） 设S是R中的一个数集，若数?满足：(1) 对一切x?S,有x??（即
?是S的上界）; (2) 对任何???，存在x0?S，使得x0??（即?是S的上界中最小的一个），则称数?为数集S的上确界，记作??supS.
从定义中可以得出：上确界就是上界中的最小者. 命题1M?supE 充要条件 1）?x?E,x?M；
2）???o,?x0?S,使得x0?M??.
证明：必要性，用反证法.设2）不成立，则??0?0,使得?x?E,均有x?M??o，与M是上界中最小的一个矛盾.
充分性（用反证法），设M不是E的上确界，即?M0是上界，但M?M0.令
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