开放性问题
一、选择题
1． 1．（2018·浙江舟ft·3 分）某届世界杯的小组比赛规则：四个球队进行单循环比赛（每两队赛一场），胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分，某小组比赛结束后，甲、乙，丙、丁四队分别获得第一，二，三，四名，各队的总得分恰好是四个连续奇数，则与乙打平的球队是（ A.甲 B.甲与丁 C.丙 D.丙与丁
【考点】推理与论证
【分析】需要推理出甲、乙、丙、丁四人的分数：每个人都要比赛 3 场，要是 3 场全胜得最高 9 分，根据已知“甲、乙，丙、丁四队分别获得第一，二，三，四名”和“各队的总得分恰好是四个连续奇数”，可推理出四人的分数各是多少，再根据胜、平、负一场的分数去讨论打平的场数。 【解答】解：小组赛一共需要比赛
场，
）
由分析可知甲是最高分，且可能是 9 或 7 分， 当甲是 9 分时，乙、丙、丁分别是 7 分、5 分、3 分，因为比赛一场最高得分 3 分， 所以 4 个队的总分最多是 6×3=18 分，而 9+7+5+3>18，故不符合；
当甲是 7 分时，乙、丙、丁分别是 5 分、3 分、1 分，7+5+3+1<18，符合题意，因为每人要参加 3 场比赛，
所以甲是 2 胜一平，乙是 1 胜 2 平，丁是 1 平 2 负， 则甲胜丁 1 次，胜丙 1 次，与乙打平 1 次， 因为丙是 3 分，所以丙只能是 1 胜 2 负，乙另外一次打平是与丁， 则与乙打平的是甲、丁故答案是 B。
【点评】要注重分类讨论.
二.解答题 (要求同上一)
1．（2018·湖南省衡阳·10 分）如图，已知直线 y=﹣2x+4 分别交 x 轴、y 轴于点 A、B，抛物线过 A，B两点，点 P 是线段 AB 上一动点，过点 P 作 PC⊥x 轴于点 C，交抛物线于点 D． （1）若抛物线的解析式为 y=﹣2x+2x+4，设其顶点为 M，其对称轴交 AB 于点 N． ①求点 M、N 的坐标；
②是否存在点 P，使四边形 MNPD 为菱形？并说明理由；
（2）当点 P 的横坐标为 1 时，是否存在这样的抛物线，使得以 B、P、D 为顶点的三角形与△AOB 相似？2
若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）①如图 1， ∵y=﹣2x2
+2x+4=﹣2（x﹣）2
+， ∴顶点为 M ，），
当 x=时，y=﹣2×+4=3，则点 N 坐标为（，3）； ②不存在．理由如下： MN=﹣3=，
设 P 点坐标为（m，﹣2m+4），则 D（m，﹣2m2
+2m+4）， ∴PD=﹣2m2
+2m+4﹣（﹣2m+4）=﹣2m2
+4m， ∵PD∥MN，
当 PD=MN 时，四边形 MNPD 为平行四边形，即﹣2m2
+4m=，解得 m 1 =
（舍去），m =，此时 P 点坐标为（， 1），
∵PN= ，
∴PN≠MN，
∴平行四边形 MNPD 不为菱形， ∴不存在点 P，使四边形MNPD 为菱形； （2）存在．
2
如图 2，OB=4，OA=2，则 =2，当
x=1 时，y=﹣2x+4=2，则 P（1，2）， ∴PB=
=
，
2
设抛物线的解析式为 y=ax+bx+4，
把 A（2，0）代入得 4a+2b+4=0，解得 b=﹣2a﹣2， ∴抛物线的解析式为 y=ax﹣2（a+1）x+4，
当 x=1 时，y=ax﹣2（a+1）x+4=a﹣2a﹣2+4=2﹣a，则 D（1，2﹣a）， ∴PD=2﹣a﹣2=﹣a， ∵DC∥OB， ∴∠DPB=∠OBA， ∴当
=
时，△PDB∽△BOA，即
=
2
2
2
=，解得 a=﹣2，此时抛物线解析式为
2
=时，
△PDB∽△BAO，即，解得 ，此时抛物线解析式为 x+3x+4；综上所述，满足条件的
2
抛物线的解析式为 y=﹣2x+2x+4 或 y=﹣x+3x+4．
2. （2018?株洲市）下图为某区域部分交通线路图，其中直线
，直线与直线
都垂直，，垂足
分别为点 A、点B 和点 C，（高速路右侧边缘），上的点 M 位于点 A 的北偏东 30°方向上，且 千米， 上的点 N 位于点 M 的北偏东方向上，且 ，MN= 千米，点 A 和点 N 是城际线 L 上的两个相邻的站