浅谈二阶导数在解高考函数题中的应用
在历年高考试题中，导数部分是高考重点考查的内容，在六道解答题中必有一题是导数题。这类题主要考察函数的单调性、求函数的极值与最值以及利用导数的有关知识解决恒成立、不等式证明等问题。解决这类题的常规解题步骤为：①求函数的定义域；②求函数的导数；③求f'(x)的零点；④列出x,f'(x),f(x)的变化关系表；⑤根据列表解答问题。
而在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出导函数的符号，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。若遇这类问题，则可试用求函数的二阶导数加以解决。本文试以2010年全国高考试题为例，说明函数的二阶导数在解高考函数题中的应用。
例1.（全国卷Ⅰ第20题） 已知函数f(x)?(x?1)lnx?x?1.
（1） 若xf'(x)?x2?ax?1，求a的取值范围； （2） 证明：(x?1)f(x)?0. 原解答如下:
解（1）函数的定义域为（0，+∞），f'(x)?lnx?1 ，
x xf'(x)?x2?ax?1?xlnx?1?x2?ax?1，
?a?lnx?x?a?(lnx?x)max . 令g(x)?lnx?x则g'(x)?1?1,
x
当0?x?1时，g'(x)?0,g(x)递增；当x?1时，g'(x)?0,g(x)递减，
从而当x?1时，g(x)max?g(1)??1， 故所求a的范围是[-1,+∞﹚. 证明(2)由(1)知,lnx?x?1?0,则
① 0?x?1时，f(x)?xlnx?(lnx?x?1)?0；
② x?1时，f(x)?lnx?(xlnx?x?1)?lnx?x(ln1?1?1)?0.
xx综上可知，不等式成立.
对于（2）的证明，虽然过程简单，但思维难度大，对学生的观察能力和代数式的变形能力要求较高。我们可以运用二阶导数的方法加以证明：
?0,只需证F（x)min?0. 证法二:令F(x)?(x?1)f(x),要证明F（x） 因F'（x）?f(x)?(x?1)f'(x)
?(x?1)lnx?x?1?(x?1)(lnx?1)
x ?2xlnx?(x?1)?2，
x 显然当x?1时，F'(x)?0，
当0?x?1时，x?1?2,lnx?0,F'(x)?0，
xF(x)在（0,1﹚递减；
当x?1时，x?1?2,lnx?0，
xF'(x)的符号仍不能判定，求二阶导数得
[F'(x)]'?2lnx?1?1?0， 2x从而F'(x)在x?1时递增，
F'(x)?F'(1)?0，F(x)在[ 1,+∞﹚递增，
所以当x?1时，F(x)min?F(1)?0， 故F(x)?0成立，原不等式成立.
例题2（2010年高考数学全国卷Ⅱ（22）小题）
设函数f?x??1?e?x． （Ⅰ）证明：当x＞-1时，f?x??（Ⅱ）设当x?0时，f?x??x； x?1x，求a的取值范围． ax?1（原解答略）在原解答第（Ⅱ）问的解答中，用到了放缩代换，对考生的数学素质和解题能力要求很高，极少有考生能达到那样的要求.若用求二阶导数求解，则别有一番天地. （Ⅱ）解法二：由题设x?0,f(x)?ax， ax?1x不恒成立； ax?1若a?0，则当x??1时，ax?1?0,f(x)?若a?0,则ax?1?0,f(x）?x?(ax?1)(1?e?x)?x?0. ax?1令g(x)?(ax?1)(1?e?x)?x,则g(0)?0，
g'(x)?e?x(ax?1?a)?a?1,g'(x)?0， [g'(x)]'?e?x(2a?1?ax),