专题十五 排列组合问题
【母题原题1】【2018浙江，16】从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答) 【答案】1260
【解析】分析:按是否取零分类讨论，若取零，则先排首位，最后根据分类与分步计数原理计数. 详解：若不取零，则排列数为因此一共有
若取零，则排列数为个没有重复数字的四位数.
【母题原题2】【2017浙江，16】从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答) 【答案】600
【命题意图】考查排列数、组合数公式，考查运算求解能力、分类讨论的思想及分析问题与解决问题的能力． 【命题规律】纵观近几年的高考试题，排列组合问题往往以实际问题为背景，考查排列数、组合数、分类分步计数原理．除了以选择、填空的形式考查，也往往在解答题中与古典概型概率计算相结合进行考查．难度基本稳定在中等.
【答题模板】求解排列组合问题，一般考虑： 第一步：分清分类和分步.
第二步：分清排列与组合，确定解题方向.根据问题有序和无序，确定是排列问题还是组合问题； 第三步：正确应用公式运算求解. 【方法总结】
1. 求解排列、组合问题的思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘． 具体地说，解排列、组合的应用题，通常有以下途径：
1
(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素． (2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．
(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数． 2. 解答排列、组合问题的角度：
解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手． (1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”； (2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等； (3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；
(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决． 3. 有条件的排列问题大致分四种类型．
(1)某元素不在某个位置上问题，①可从位置考虑用其它元素占上该位置，②可考虑该元素的去向(要注意是否是全排列问题)；③可间接计算即从排列总数中减去不符合条件的排列个数．
(2)某些元素相邻，可将这些元素排好看作一个元素(即捆绑法)然后与其它元素排列． (3)某些元素互不相邻，可将其它剩余元素排列，然后用这些元素进行插空(即插空法)．
(4)某些元素顺序一定，可在所有排列位置中取若干个位置，先排上剩余的其它元素，这个元素也就一种排法． 4. 对于有条件的组合问题，可能遇到含某个(些)元素与不含某个(些)元素问题；也可能遇到“至多”或“至少”等组合问题的计算，此类问题要注意分类处理或间接计算，切记不要因为“先取再后取”产生顺序造成计算错误． 5.不同元素分组：将n个不同元素放入m个不同的盒中
m?16、相同元素分组：将n个相同元素放入m个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有Cn?1种.解决此类问
题常用的方法是“挡板法”，因为元素相同，所以只需考虑每个盒子里所含元素个数，则可将这n个元素排成一列，共有?n?1?个空，使用?m?1?个“挡板”进入空档处，则可将这n个元素划分为m个区域，刚好对应那m个盒子.
7、涂色问题：涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”，在处理涂色问题时，可按照选择颜色的总数进行分类讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的颜色（还要注意两两不相邻的情况），先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进行涂色即可.
1．【2018届贵州省凯里市第一中学《黄金卷》第四套】集合取一个数，能组成（ ）个没有重复数字的两位数？ A. 52 B. 58 C. 64 D. 70
，从集合
中各
2
【答案】B
【解析】分析：分别从集合A，B取一个数字，再全排列，根据分步计数原理即可得到答案． 详解：故选：B
2．【2018届浙江省金丽衢十二校第二次联考】用0，1，2，3，4可以组成的无重复数字的能被3整除的三位数的个数是（ ）
A. 20 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】A
点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：
(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.
3．【2018届浙江省台州市高三上期末】有3位男生，3位女生和1位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是 A. 144 B. 216 C. 288 D. 432 【答案】D
112【解析】第一步，老师站中间，分别选一个男生与一个女生站在老师两边，共有C3C3A2?18 种排法；第二步4剩余的学生全排列，共有A4?24种排法，所以根据分步计数乘法原理可得，符合题意的排法共有18?24?432
种，故选D.
4．【2017届黑龙江省齐齐哈尔市一模】由1、2、3、4、5、6、7七个数字组成七位数，要求没有重复数字且6、7均不得排在首位与个位，1与6必须相邻，则这样的七位数的个数是（ ） A. 300 B. 338 C. 600 D. 768 【答案】D
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