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习题
?a111、设A是对称阵且a11?0，经过高斯消去法一步后，A约化为??0称矩阵。 证明： T?a1?，证明A2是对A2??a11?a12设对称矩阵A???...??a1na12...a1n?a22...an2?? ，则经过1次高斯校区法后，有 .........??a2n...ann??a1n?...an2?a12?a11??......??a1n...ann?a12?a11? a1n?a12?an2?a1n?a11??...??aann?1na1n?a11?...a1na12?a11??0a22?a12a12a11?A(1)??...?...?a1na12?0a2n?a11?a12...?a11??0a22?a12a12...a11???......?...?a1n0a?a12...?n2a11?T所以a1?[a12...an2] a12a12??a?a...a?a1n?n2?22a12a1111??A2??.........? ??aa?an2?1na12...ann?1na1n??a11a11???所以A2为对称矩阵。 2、设A是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后，A约化为A?(aij)n，其中A?(aij)n，(2)A2?(aij)n?1； 证明：（1）A的对角元素aii?0(i?1,2,,n)；（2）A2是对称正定矩阵； . 学习参考 .
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（1）依次取xi?(0,0,?,0,1,0,?,0)T,i?1,2,?,n，则因为A是对称正定矩阵，i所以有aii?xTAx?0。 (2)（2）A2中的元素满足aij?aij?ai1a1ja11,(i,j?2,3,?,n)，又因为A是对称正定ai1a1ja11a1iaj1a11(2)矩阵，满足aij?aji,i,j?1,2,?,n，所以aij?aij??aji??a(ji2)，即A2是对称矩阵。 3、设Lk为指标为k的初等下三角矩阵（除第k列对角元以下元素外，Lk和单位阵I 相同），即 ?1?...??1Lk??mk?1,k??...?mn,k??????? 1?...??1??求证当i,j?k时，Lk?IijLkIij 也是一个指标为k的初等下三角矩阵，其中Iij为初等置换矩阵。 4、试推导矩阵A 的Crout分解A=LU的计算公式，其中L为下三角矩阵，U为单位上三角矩阵。 本题不推导。参见书上例题。P147页。 5、设Ux?d ，其中U为三角矩阵。 （1）就U为上及下三角矩阵推导一般的求解公式，并写出算法 （2）计算解三角方程组Ux?d的乘除法次数 （3）设U为非奇异矩阵，试推导求U?1的计算公式 . 学习参考 .
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本题考查求解公式的一般方法，可从第n个元素开始，逐步计算n-1,…1时对应的求解公式。 解法，略。 6、证明： （1）如果A是对称正定矩阵，则A?1也是对称正定矩阵 （2）如果A是对称正定矩阵，则A可以唯一地写成A?LTL，其中L是具有正对角元的下三角矩阵 均是对称正定矩阵的性质。应予以记住。 7、用列主元消去法解线性方程组 ?12x1?3x2?3x3?15???18x1?3x2?x3??15 ?x?x?x?6?123并求出系数矩阵A的行列式的值 ?12?33?? A???183?1???11??1??12?3315?? A|b???183?1?15???116??1?使用列主元消去法，有 ?12?3315?? A|b???183?1?15???116??1???183?1?15?? ??12?3315???116??1?. 学习参考 .
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????183?1?15???7??0?15? ??3?71731??0?6186??????183?1?15???71731? ??0?6186???7?0?15?3?????183?7??0?6??00???1?15??1731? ?1866666??217?A的行列式为-66 方程组的解为 X1=1,x2=2,x3=3 8、用直接三角分解（Doolittle分解）求线性方程组的解 11?1x?x??41526x3?9?11?1x?x?x3?8 ?1245?3?1?2x1?x2?2x3?8?本题考查LU分解。 解： . 学习参考 .
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?1?4?1A???3??1??2151411?6??1?5?? 2??????100???1L??10??3??1? ?11??2??1?4?U??0???0??15116001?6??13? ?90?957?540??9、用追赶法解三对角方程组Ax?b，其中 ?2?1000??12?100?A??0?12?10??00?12?1??000?12??1???0?????，b??0?。 ?????0?????0??解：追赶法实际为LU分解的特殊形式。设U为、单位上三角矩阵。有 （1）计算?i的递推公式 ?1?c1/b1??1/2??0.5?2?c2/(b2?a2??1)??1/(2?(?1)?(?0.5))??2/3 ?3?c3/(b3?a3??2)??1/(2?(?1)?(?2/3))??3/4 ?4?c4/(b4?a4??3)??1/(2?(?1)?(?3/4))??4/5（2）解Ly=f . 学习参考 .