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y1?f1/b1?1/2y2?(f2?a2y1)/(b2?a2?1)?(0?(?1)?(1/2))/(2?(?1)?(?0.5))?1/3 y3?(f3?a3y2)/(b3?a3?2)?(0?(?1)?(1/3))/(2?(?1)?(?2/3))?1/4 y4?(f4?a4y3)/(b4?a4?3)?(0?(?1)?(1/4))/(2?(?1)?(?3/4))?1/5 y5?(f5?a5y4)/(b5?a5?4)?(0?(?1)?(1/5))/(2?(?1)?(?4/5))?1/6 （3）解UX=y x5?y5?1/6 x4?y4??4x5?1/5?(?4/5)?1/6?1/3 x3?y3??3x4?1/4?(?3/4)?1/3?1/2 x2?y2??2x3?1/3?(?2/3)?1/2?2/3 x1?y1??1x2?2?(?1/2)?2/3?5/6 10、用改进的平方根法解方程组 ?11??x1??4??2??1?23??x???5?。 ???2????31??1???6???x3???本题明确要求使用平方根法进行求解。实际考查的LDU分解。见P157 x1?10723。 ,x2?,x3?99911、下列矩阵能否分解为LU（其中L为单位下三角阵，U为上三角阵）？若能分解，那么分解是否唯一。 6??123??111??12?，B??221?，C??2515?。 A??241??????????467???331???61546??LU分解存在的条件 一个可逆矩阵可以进行LU分解当且仅当它的所有子式都非零。如果要求其中的L矩阵（或. 学习参考 .
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U矩阵）为单位三角矩阵，那么分解是唯一的。同理可知，矩阵的LDU可分解条件也相同，并且总是唯一的。 即使矩阵不可逆，LU仍然可能存在。实际上，如果一个秩为k的矩阵的前k个顺序主子式不为零，那么它就可以进行LU分解，但反之则不然。 解： 因为A的一、二、三阶顺序主子式分别为1，0，-10，所以A不能直接分解为三角阵的乘积，但换行后可以。 因为B的一、二、三阶顺序主子式分别为1，0，0，所以B不能分解为三角阵的乘积。 因为C的一、二、三阶顺序主子式分别为1，5，1，所以C能够分解为三角阵的乘积，并且分解是唯一的。 12、设 ?0.60.5?， A????0.10.3?计算A的行范数，列范数，2-范数及F-范数。 本题考查的是矩阵范数的定义及求法 行范数0.6+0.5=1.1 列范数0.5+0.3=0.8 2-范数的计算需要用到特征值，特征值的计算可以使用幂法进行计算，也可以直接求。 ATA的最大特征值为0.3690 所以2-范数为0.6074 F-范数0.8426 . 学习参考 .
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13、求证： （a）x（b）??x1?nx?； AF1n?A2?AF。 根据定义求证。 x??maxxi?x1??xi?nmaxxi?nx?。 1?i?ni?11?i?nn1An22F1n2??aijni,j?1 A2??max(ATA) 14、设P?Rn?n且非奇异，又设x为R上一向量范数，定义xnp?Px。试证明xp是R上向量的一种范数。 根据向量范数的定义来证明： 要求就有正定性，齐次性，三角不等式等性质。 n显然xx1?x2p?Px?0，cxp?Pcx?cPx?cxp、 pp?P(x1?x2)?Px1?Px2?Px1?Px2?x1?x2n，从而是Rxpp上向量的一种范数。 15、设A?Rn?n为对称正定，定义 xA?(Ax,x)， 是R上向量的一种范数。 An12试证明x根据向量范数的定义来证明： 要求就有正定性，齐次性，三角不等式等性质。 12显然xT?(Ax,x)?xAx?0A， . 学习参考 .
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cxA?(Acx,cx)?c(xAx)?c(Ax,x)?cx12A122T12A x1?x2?(A(x1?x2),(x1?x2))?(x1?x2)TA(x1?x2)A?x1TAx1?x2TAx2?x1?x21A?1A16、设A为非奇异矩阵，求证?miny?0?Ayy??。 因为A?1?maxx?0A?1xx?maxx?0A?1xAAx?1?max?1yAyy?Ax?0?y?01minAyy， 所以得证 1A?1??miny?0Ayy?? 17、矩阵第一行乘以一数，成为A??值。 ?2???2，证明当时，cond(A)?有最小????3?11?本题考查条件数的计算 cond(A)??A?1?A? 首先计算A的逆阵 ?1??1????1A???1?2? ???????2|3?|?22???A???3，取得最小值为2 ?|3?||3?|?2，当A?1?1|?|?2|?|取值越大，则最小值为2 ?，当从而cond(A)??A?1?A??(1??2)?max?3?,2?， . 学习参考 .
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又当??2时， 33?2)?max?3?,2??(?2)?2?7。 ?21cond(A)??(当??2时， 31cond(A)??(??2)?max?3?,2??(1??2)?3??3?6??7。 综上所述，cond(A)??7时最小，这时??18、设A??22，即???。 33(v?2,?) ?10099?，计算A的条件数cond(A)v??9998??10099???9899??1由A???可知，A??99?100?，从而 9998??????9899???9899??19405?19602?， (A?1)T(A?1)?????????99?100??99?100???1960219801?由?I?(A?1)T(A?1)???1940519602??2?39206??1?0， 19602??19801?10099??10099??1980119602?， ATA?????????9998??9998??1960219405?由?I?ATA???19801?19602??2?39206??1?0， ?19602??194052可得A2?A?1?19603?384277608，从而 cond(A)2?A?1A?1?2A2?19603?384277608?39206。 ??199，A??199，从而cond(A)??A?1A??199?199?39601。 19、证明：如果A是正交矩阵，则cond(A)2?1 若A是正交阵，则A?1?AT，从而ATA?I，(A?1)TA?1?AA?1?I，故A2?A?12?1，cond(A)2?A?1n?n2A2?1。 20、设A,B?R，且?为Rn?n上矩阵的算子范数，证明： . 学习参考 .