2011年复旦大学自主招生试题数学部分
1.若对一切实数，都有|x?5|?|x?7|?a，则实数a的取值范围是 （ ） A.a?12 B.a?7 C.a?5 D.a?2
2.设有集合S={x|logx(3x2?4x)≥2，x>0}，T={x|logx(2x2?k2x)≥2，x>0}满足S ?T，则实数k的取值 范围是 ( ) A.k2≥2 B.k2≤2 C.k≥2 D.k≤2
3.设正整数n可以等于4个不同的正整数的倒数之和，则这样的n的个数是 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4
224.函数sinx,cosx,xsinx,xcosx中周期函数的个数是 （ ） A.0 B.21 C.2 D.3 5.设x1>0，xn+1=
3(1?xn)，n=1，2，3，…，那么 ( )
3?xnA.数列{xn}是单调增的 B.数列{xn}是单调减的
C.数列{xn}或是单调增的，或是单调减的 D.数列{xn}既非单调增的，也非单调减的 6.将复数Z?(cos75??isin75?)3所对应的向量按顺时针方向旋转15，则所得向量对应的复数 是 （ ）
?A.?31311313?i B.??i C.?i D.?i 22222222
7.“以复数Z1,Z2,Z3和W1,W2,W3为对应顶点的复平面上的两个三角形相似”是“等式
Z2?Z1W2?W1成立”的 （ ） ?Z3?Z2W3?W2A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.从1到100这100个正整数中任取两个不同的整数，要求其和大于100，则取法总数为（ ） A.2450 B.2500 C.2525 D.5050
9.在半径为1的圆周上随机选取3点,它们构成一个锐角三角形的概率是 ( )
1111 B. C. D. 2345110.设n是一个正整数,则函数x+在正半实轴上的最小值是 ( )
nxnn?2n?1n?1nA. B. C. D.
n?1nnn?1x2y2?11.椭圆=1上的点到圆x2+(y?6)2=1上的点的距离的最大值是 ( ) 2516A.
A.11 B.74 C.55 D.9
12.极坐标表示的下列曲线中不是圆的是 （ ） A.?2?2?(cos??3sin?)?5 B.??6?cos??4?sin??0 C.???cos??0 D.?cos2??2?(cos??sin?)?1
222(x?1)2213.设直线族和椭圆族分别为x=t，y=mt+b(m、b为实数，t为参数)和+y=1(a是非零实数)，
a2若对于所有的m，直线都与椭圆相交，则a、b应满足 ( )
1
A.a2(1?b2)≥1 B.a2(1?b2)>1 C.a2(1?b2)<1 D.a2(1?b2)≤1 14.已知一个直圆柱体的底面半径为R，一斜面与其圆周相交且只交于一点，且与底面成夹角
23333A.2?Rcos? B.2?Rtan? C.?Rcos? D.?Rtan?
an?1?bn?1}总有极限5，则下列关系式成立的是15.已知a,b是两个不相等的正数，若数列{n（ ）
a?bn A.0?a?b?10 B.0?a?b?10 C.a?b?10 D.a?b?10
16.设n为一个正整数，记P(n)=
?(0????)，则直圆柱的面和所截的有界部分组成的几何体的体积是 （ ）
?kk?1n4，则P(n)是n的一个多项式。下面结论正确的是 ( )
A.P(n)的最高次项系数为1 B.P(n)的常数项系数为?3 C.P(n)是n的一个4次多项式 D.P(n)的4次项系数为17.设a?(),b?()1 23x4x?1 ,c?log3x，若x?1，则a,b,c之间的大小关系为 （ ）
434 A.a?b?c B.b?c?a C.c?a?b D.c?b?a 18.设a为正数，f(x)=x3?2ax2+a2，若f(x)在区间(0，a)上大于0，则a的取值范围是 ( )
A.(0，1] B.(0，1) C.(1，+∞) D.[1，+∞)
19.小于1000的正整数中不能被3和5整除的整数的个数是 （ ） A.530 B.531 C.532 D.533
20.下列函数中，在其定义域上不是奇函数的是 （ ） A.y?ln(x?x2?1) B.y?x(1313232311?) x2?12C.y?ln|1?x?x1?x?x| D.y?ln(secx?tanx)
21.设有4个数的数列为：a1，a2，a3，a4，前3个数构成一个等比数列，其和为k，后3个数构成 一个等差数列，其和为9，且公差非零，对于任意固定的k,若满足条件的数列的个数大于1。 则k应满足 ( ) A.12k>27 B.12k<27 C.12k=27 D.其他条件
22.平面上有100条直线，其中无两条直线互相平行，无三条直线交于一点，则这些直线将平面分成的互异区域的个数为 （ ） A.5050 B.5051 C.5025 D.5053 23.设复数w1=?A.w B.w2 C.w1 D.w2
24.用字母a,b,c组成5个字母的码字，要求每个码字中a至多出现2次，b至多出现1次，c至多出现3次，则这种码字的个数为 （ ） A.50 B.52 C.60 D.62
25.设S是由任意n(?5)个人组成的集合。如果S中任意4个当中都有至少1个人和其余3个人相互认识，那么下列判断中正确的是 （ ） A.S中没有人认识S中的所有人 B.S中至少有1个人认识S中所有人 C.S中至多有2个人不认识S中所有人 D.S中至多有2个人认识S中所有人 26.设直线l过点M(2,1)，且与抛物线y?2x相交于A,B两点，M是线段AB的中点，则直线
2
212?2?3+i，w2=cos+isin，令w=w1w2，则复数w+w2+…+w2011= ( ) 2255l的方程是 （ ） A.y?x?1 B.y??x?1 C.2y?3x?4 D.3y??x?5
1111113
27.设a,b∈(-∞，+∞),b≠0,α、β、γ是三次方程x+ax+b=0的3个根,则总以
?+
?、+
??、+
??
为根的三次方程是 ( )
A.a2x3+2abx2+b2x?a=0 B.b2x3+2abx2+a2x?b=0 C.a2x3+2ab2x2+bx?a=0 D.b2x3+2a2bx2+ax?b=0
4sin?的准线方程是 （ ）
cos2? A.?sin??1 B.?cos???1 C.?cos??1 D.?sin???1 29.设椭圆的长短轴分别为a和b。从椭圆的中心O依次引n(?3)条射线交椭圆于A1,A2,...,An，
28.圆锥曲线??n2? 且相邻两条射线的夹角都等于，则?(OAk)?2? （ ）
nk?1n?2n?2n2n2?2?222 A.(a?b) B.(a?b) C.(a?b) D.(a?b)
222230.S是三维空间中的一个任意点集，S的任意四个不同的点都不在一个平面上，则下列结论中一
定不对的是 （ ） A.S的元素个数有限 B.S的元素个数无穷
C.S的任意三个不同的点都不在一条直线上 D.S的任意三对点所在的直线都不共面
31.平面?与球体V的表面相交于一个圆，圆上三个点构成一个等边三角形，边长为s，球心到平
1，则球的半径是 （ ） 31113s 6s D. A.3s B.s C.324??????32.给定三个向量v1?(1,0,1),v2?(1,1,0),v3?(1,1,k2?k?1)，其中k是一个实数。若存在非零向量同时垂直于这三个向量，则k的取值为 （ ） 1?5?1?55?11?5?1?5 A. B. C. D. ,22222面?的距离等于球半径的
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