2018年河南省洛阳市高考数学二模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，则（ ）
A． B．
C．
D．
2.若复数
,则复数在复平面内对应的点在( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 3．在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的（ ）
A．充分必要条件B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．设m、n是两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列四个命题中不正确的是（ ） A．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n B．m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n C．m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n D．m⊥α，n⊥β且α∥β，则m∥n 5．在（1+x）2（1﹣x）5展开式中，含x5项的系数是（ ） A．﹣5 B．﹣1 C．1
D．5
6．数学家发现的“3x+1猜想”是指：任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把除以2，如果它是奇数，我们就是它乘以3在加上1，在这样一个变换下，我们就得到一个新的自然数，如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想就是：反复进行上述运算后，最后结果为1，现根据此猜想设计一个程序框图如图所示，执行该程序框图输入的n=20，则输出的结果为（ ） A．6
B．7
C．8
D．9
7．若x，y满足约束条件，则的最小值于
最大值的和为（ ） A．
B．
C．
D．
8．如果一个三位数的各位数字互不相同，且各数字之和等于10，则称此三位数为“十全十美三位数”（如235），任取一个“十全十美三位数”，该数为奇数的概率为（ ） A．
B．
C．
D．
9．设函数
，已知正实数a，b满足f（2a）+f（b﹣4）=0，则
的最小值为（ ） A．1
B．2
C．
D．4
10．若锐角φ满足，则函数f（x）=cos2（x+φ）的单调增区间为（ ）
A． B． C．
D．
11．如图，已知抛物线
的顶点在坐标原点，焦点在轴上，且过点，圆,过圆心
的直线与抛物线和圆分别交于
,则
的最小值为( )
A．23 B．42 C.12 D．52 12．已知函数，若f（a）=g（b）成立，则b﹣a的最小值为（ ） A．
B．
C．1+ln2
D．1﹣ln2
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．《红海行动》是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撒侨任务的故事.撒侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务必须排在前三位，且任务
必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有 ．
14．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若4S=a2﹣（b﹣c）2，且b+c=4，则S的最大值为 ．
15．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中一些数学用语可见，譬如“憋臑”意指四个面都是直角三角形的三棱锥.某“憋臑”的三视图（图中网格纸上每个小正方形的边长为1）如图所示，已知几何体高为
，则该几何体外接球的表面积为
16．已知椭圆
的右焦点为
,且离心率为
，的三个顶点都在椭圆上，设
三条边的中点分别为
，且三条边所
在直线的斜率分别为，且
均不为0.为坐标原点，若直线
的斜率之和为1.则
．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（12分）已知等差数列{an}的公差d≠0，且a3=5，a1，a2，a5成等比数列． （1）求数列{an}的通项公式；
（2）设
是数列{bn}的前n项和，若对任意正整数n，不等式
恒成立，求实数a的取值范围．
18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=BC，∠ABC=90°，D为AC的中点．（1）求证：AB⊥PD；
（2）若∠PBC=90°，求二面角B﹣PD﹣C的余弦值．
19．某超市计划月订购一种冰激凌，每天进货量相同，进货成本每桶5元，售价每桶7元，未售出的冰激凌以每桶3元的价格当天全部成立完毕，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：°C）有关．如果最高气温不低于25，需求量600桶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为400桶，如果最高气温低于20，需求量为200桶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最
高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温 （10，15） （15，20） （20，25） （25，30） （30，35） （35，40） 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频数代替最高气温位于该区间的概率． （1）六六月份这种冰激凌一天需求量X（单位：桶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种冰激凌的利润为Y（单位：元），当六月份这种冰激凌一天的进货量n（单位：桶）为多少时，Y的数学期望取得最大值？
20．如图，已知圆
是椭圆
的内接△ABC的内切圆，其
中A为椭圆T的左顶点，且GA⊥BC．（1）求椭圆T的标准方程；
（2）过点M（0，1）作圆G的两条切线角椭圆于E，F两点，试判断直线EF与圆G的位置关系并说明理由．
21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax（a∈R）．
（1）若曲线y=f（x）与直线x﹣y﹣1=0相切，求实数a的值； （2）若函数y=f（x）有两个零点x1，x2，证明．
22．（10分）已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同．曲线C的方程是ρ=2
sin（θ﹣
），直线l的参数方程为
（t为参数，0≤a＜π），
设P（1，2），直线l与曲线C交于A，B两点． （1）当a=0时，求|AB|的长度； （2）求|PA|2+|PB|2的取值范围． 23．已知函数
（1）若不等式f（x）﹣f（x+m）≤1恒成立，求实数m的最大值；
（2）当a＜时，函数g（x）=f（x）+|2x﹣1|有零点，求实数a的取值范围．
参考答案与解析
一、选择题：
1.B 2.C 3．A．4．B．
5．解：（1+x）2（1﹣x）5=（1+2x+x2）（1﹣5x+10x2﹣10x3+5x4﹣x5），
∴展开式中含x5项为﹣x5+2x?5x4+x2?（﹣10x3）=﹣x5；∴含x5项的系数是﹣1．故选：B．
6．【解答】解：由题意，模拟程序的运行，可得n=20，i=1不满足条件n是奇数，n=10，i=2不满足条8．【解答】解：任取一个“十全十美三位数”，包含的基本事件有：
109，190，901，910，127，172，271，217，721，712，136，163，316，361，613，631， 145，154，451，415，514，541，208，280，802，820，235，253，352，325，523，532，
307，370，703，730，406，460，604，640，共40个，其中奇数有20个，∴任取一个“十全十美三位数”，该数为奇数的概率为p=
=．故选：C．
件n=1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n=5，i=3 不满足条件n=1，执行循环体，满足条件n是奇数，n=16，i=4 不满足条件n=1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n=8，i=5 不满足条件n=1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n=4，i=6 不满足条件n=1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n=2，i=7 不满足条件n=1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n=1，i=8 满足条件n=1，退出循环，输出i的值为8．故选：C．
7【解答】解：由约束条件x，y满足约束条件，则作可行域如图，
∵==2+，即z﹣2=，其几何意义是可行域内的动点
与定点P（﹣2，2）连线斜率，由图可知，当可行域内的动点为A时，kPA最大，z=2+=，
当可行域内的动点为B时，kPB最小，z=2+=0，
∴
的最小值与最大值的和为+0=，故选：D．
9．【解答】解：根据题意，，
则f（﹣x）=2017（﹣x）+sin（）+
=﹣（=﹣f（x），则函数f（x）为奇函数；
=2017x+sin﹣+1，
则f′（x）=2017+cos+＞0，函数f（x）为增函数，
若f（2a）+f（b﹣4）=0，则f（2a）=﹣f（b﹣4）=f（4﹣b），则有2a=4﹣b，即2a+b=4， 则
=
（+）=（4++
）=1+（+
）≥1+×2×
=2，当且仅当b=2a
时等号成立；故选：B． 10．解：锐角φ满足，∴1﹣2sinφcosφ=，∴sin2φ=；又sinφ＞
，∴2φ=
，
解得φ=
；∴函数f（x）=cos2（x+φ）=
=+cos（2x+
），∴2kπ﹣π≤2x+
≤2kπ，k∈Z；解得kπ﹣≤x≤kπ﹣
，k∈Z；∴f（x）的单调增区间为[kπ﹣
，kπ﹣
]
（k∈Z），即[kπ+，kπ+
]，k∈Z．：D．
11．A