定义4.1.1 设A，B为任意集合，一个从An到B的映射，称为集合A上的一个n元运算。如果B A，则称该n元运算时封闭的。 定义4.1.2 一个非空集合A，连同若干个定义在该集合上的运算f1，f2，…，fk所组成的系统，称为一个代数系统，记作：
定义4.1.3 设A为任意非空集合，*是集合A上的二元运算。 （1）封闭性：对任意a，b∈A，若有a*b∈A，则称运算*关于集合是封闭的。
（2）结合律：对任意a，b，c∈A，若有a*（b*c）=（a*b）*c，则称运算*在集合A是可结合的，或称运算*在A上满足结合律。 （3）交换律：对任意a，b∈A，若有a*b=b*a，称为运算*在A上市可交换的，或称*运算在A上满足交换律。
（4）幂等率：若对 a∈A，有a*a=a，则称运算*在Ａ上市幂等的，或称运算×在Ａ上满足幂等率。
（５）分配律：若对 a，b，c∈A有 ： a (b*c)=(a b)*(a c) 和（b*c） a=（b a）*（c a）成立，则称运算 对*时可分配的，或称运算*满足分配律。
（6）吸收率：若 和*满足交换律而且有： a，b∈A，并有a (b*c)=a和a* (b c)=a，则称 和*运算时可吸收的，或称 和*运算满足吸收率。 定义4.1.4 设*为集合Ａ上的二元运算，若存在 （或 ），使得对于 x∈A，都有 （或 ），则称 （或 ）是A中关于*运算的左（或右）幺元（或单位元）。如果A中一个元素e，它既是左幺元，又是右幺元，则成e是A中关于运算* 的遥远。 显然对于任一x∈A，e*x=x*e=x。
定义4.1.5 设*式定义在集合A上的二元运算，如果有一个元素 ，对于任意元素 都有 ，则称 为A中关于运算*的左零元；如果有一个元素 ，对于任意元素 都有 ，则称 为Ａ中关于运算*的右零元。如果A中的一个元素 ，他既是左零元，又是右零元，则称 为A上关于运算*的零元。
定理4.1.1 设*是集合A上的二元运算，且在A中有关于运算*的左幺元 和右幺元 ，则 ，且A中幺元是惟一的。
定理4.1.2 设*是定义在集合A上的二元关系，在A中有关于运算*的左零元 和右零元 那么 ，且A中零元是惟一的。
定理4.1.3 设有代数系统
定义4.1.6 设代数系统
定义4.1.7 如果两个代数系统中运算的个数相同，对应运算的元数也相同，且代数常数的个数也相同，则称这两个代数系统具有相同的构成成分，也称它们是同类型的代数系统。
同类型的代数系统仅仅是构成成分相同，不一定具有相同运算性质。 定义4.1.8 设 是代数系统，，且B对 都是封闭的，B和S还含有相同的代数常数，则称 是V的子代数系统，简称子代数。
定义4.2.1 设*是集合S上的二元运算，若运算*时封闭的，并且*是可结合的，则称代数系统 （2）(a*b)*c=a*(b*c) 定理4.2.1 设 定义4.2.2 若半群 定理4.2.2 设 定义4.3.1 设 （4）对于每一个元素 ，存在它的逆元；则称 ，G关于*运算，构成一个群，这个群称为Klein四元群。 定义4.3.4 设 定义4.3.5 设 定理4.3.1 设 （1） ； （2） ； （3） ；（4）；（5）若G为Abel群 ， 。 定理4.3.3 对|G|>1的群不可能有零元。 定理4.3.4 设 定义4.3.8 设 定理4.3.5 设