带电球体电场与电势的分布
王峰
（南通市启秀中学物理学科 江苏 南通 226006）
在高三物理复习教学中，遇到带电体的内、外部场强、电势的分布特点问题时，我们一般以带电金属导体为例，指出其内部场强处处为零，在电势上金属体是一个等势体，带电体上的电势处处相等；但对带电金属导体的内、外部场强、电势的大小的分布特点及带电绝缘介质球的内、外部电场、电势的大小分布很少有详细说明；而在电场一章的复习中，常常会遇到此类问题，高三学生已初步学习了简单的微积分，笔者在此处利用微积分的数学方法，来推导出上述问题的答案，并给出相应的“E?r”和“??r”的关系曲线图，供大家参考。
本文中对电场、电势的分布推导过程均是指在真空环境中，即相对介电常数?0?1； ．．．．对电势的推导均取无穷远处为电势零参考点的，即U??0。
1、 带电的导体球：因为带电导体球处于稳定状态时，其所带电荷全部分布在金属球体的表面，所以此模型与带电球壳模型的电场、电势分布的情况是一致的。
电场分布：
1.1.1内部（r r1 ·O θ P r2 图（1） Q24?R∵E1P?K??(r1sin?)2r12??(r2sin?)22r2?KQsin2?4R2 Q2E2P?K4?R?KQsin2?4R2 且E1P与E2P等大反向 ∴EP?0，即均匀带电导体球（或球壳）内部的电场强度处处为零。 1.1.2外部（r>R）：如图（2）所示，要计算带电金属球（壳）的外部P点的电场强度，可以把带电导体球的表面分割成许多的单元面ds，将每个单元面上电荷在P点产生的电场 dE进行叠加，求出P点的合场强EP。由于球面上单元面ds的对称性特点，可知P点的 电场强度EP的方向最终应该沿OP连线的方向。 r O R A ds P dEˊ ? dE+dEˊ ? dsˊ dE 图（2） 上述求电场强度EP的理论方法是浅显易懂的，但数学处理上比较复杂，需要采用二重积分的方法；即先要对ds和ds所在球面上的带电圆环进行0?2?的环积分，对求出的环形电场再进行沿直径方向的0??的积分，最终求出带电球体在P点的合场强EP。积分过程如下：如图（2）所示，设OA?R，OP?r，AP?x，球表面电荷的面密度为 '??Q4?R2 ∵ ?EP?K?dsx2cos? 取球面极坐标，则ds?Rd??Rsin?d?，其中?为沿直径方向的从0??积分角， ?为带电圆环的从0?2?的还积分。 EP????Ep???K002???R2sin?d?d?x2cos? 由?OAP可知：x?r2?R2?2rRcos? 又∵cos??r?Rcos??x2?0r?Rcos?r2?R2?2rRcos? ?EP?K??d???R2(r?Rcos?)sin?d?03(r2?R2?2rRcos?)2?2?K?R??2(r?Rcos?)d(?cos?)03(r2?R2?2rRcos?)2 2r2?2rRcos?r2?R2?r2?R2?2rRcos??又∵r?Rcos?? 2r2r??22?1???d(?cos?)d(?cos?)2r?R?EP?2?K?R???????312r2r?0?02222?(r?R?2rRcos?)2(r?R?2rRcos?)2??????????22?r?R1?11?2?K?R2?????2r1?2rR?3???1?222?(r?R?2rRcos?)20???????1?????11?1222?????(r?R?2rRcos?)12r2rR??????10??2???2?2??1?12r?R??1??2?K?R???r?R?(r?R)??????2r2R?r?Rr?R?2r2R??2?K?R2??KQr22r2 ?EP?KQr2 由此可以看出，带电金属球体或金属球壳在外部空间某点产生的电场强度E，与其上 电荷全部集中在球心时产生的电场强度相等。 ∴ E外＝K 2Qr当r?R时，有E?KQR2，所以带电金属球或带电球壳的内、外电场强度的分布在 r?R处电场强度的值有突变的情况。 1.1.3图景：如图（3）所示，是带电金属球或带电球壳（导体或绝缘体壳均相同）的电场强度E的大小随P点到圆心O的距离r的关系图线。 P O · · ∞ E QK r2 0 R 图（3） 电势分布： 1.2.1内部（r r 内部某点P的电势?P的大小可以由电场力做功和电势差关系来确定 ?WP??UA?q又?WP??E1?r1q?E2?r2q?E3?r3q???En?rnq ?UP??E1?r1?E2?r2?E3?r3???En?rn又?UP???A?????P????E1?r1?E2?r2?E3?r3???En?rn由电势的物理意义可得，当以无穷远点为零势点时，该点的电势等于对电场强度从该点到无穷远的定积分。即： Q??P??Edr??0dr??Kdr2rrRrQQQ??P??Kdr??K?K2rRRRr???R? 由上述答案可知，均匀带电金属球在稳定时，其球外任一点的电势等于把全部电荷看 作集中于球心的一个点电荷在该点的电势相同；在球体内任一点的电势应与球面上的电势相等，故均匀带电金属球面及其内部是一个等势体。 1.2.2外部（r>R）：由上述电势理论同样可得： Q????Edr??Kdr2rrr????KQQ?Krrr??? 当r?R时，有??KQ，所以带电金属球的内、外电势的分布是连续不间断的。 R1.2.3图景：如图（4）所示，是带电金属球或带电球壳（导体或绝缘体壳均相同）的电势?的大小随P点到圆心O的距离r的关系图线。 O · P · ∞ φ KQ r0 R r 图（4） 2、 带电的绝缘体球：这种带电体的电荷是均匀分布在整个球体的各个部位，即电荷的体密度处处相同。 电场的分布： 2.1.1内部（r R O r ·P 图（5）