2 动量和动量定理
1．动量
(1)定义：在物理学上，把物体的质量跟其速度的乘积，叫做物体的动量。 (2)表达式：p＝mv。 (3)单位：kg·m/s。
(4)方向：动量是矢量，它的方向与速度的方向相同。 (5)对动量的理解
①动量的矢量性：动量既有大小，又有方向，是矢量。它的方向与速度方向相同。当速度发生变化(速度的大小或速度的方向或速度的大小和方向同时变化)，动量也随之改变；动量的运算遵循平行四边形定则。
②动量的瞬时性：由于速度具有瞬时性，所以动量也具有瞬时性，是反映物体运动状态的物理量，是状态量。谈及动量时，须指明物体在某时刻或某状态时所具有的动量。
③动量的相对性：由于物体的速度与参考系的选取有关，所以物体的动量也与参考系的选取有关，因而动量具有相对性。在中学阶段，一般取地面或相对地面静止的物体为参考系。
【例1】 质量为m＝2 kg的物体，从空中水平匀速飞行的飞行物上自由落下，已知飞
2
行物的速度为v0＝3 m/s，求物体离开飞行物后0.4 s末的动量。不计空气阻力，g取10 m/s。
2222
解析：以地面为参考系，物体0.4 s末时的速度为v＝v0＋v⊥＝3＋4 m/s＝5 m/s，所以p＝mv＝2.0×5 kg·m/s＝10 kg·m/s，方向与该时刻的速度方向一致，即与水平方向
v⊥4
成θ角，θ＝arctan＝arctan＝53°。
v03
答案：10 kg·m/s，方向与水平方向成53°角 2.动量的变化
动量是矢量，只要物体的m的大小、v的大小和v的方向三者中有一个发生变化，则物体的动量就发生变化。动量的变化可表示为Δp＝p末－p初，此式为矢量式。Δp也为矢量，其方向与Δv的方向相同。
(1)在一维情况下(共线)，可以把动量的矢量运算简化成代数运算，动量变化计算公式Δp＝p2－p1＝mv2－mv1，通常情况下先选定一个正方向，用正负号来表示初、末动量的方向。速度方向与正方向相同，则该物体的速度和动量为正，相反则为负。
【例2－1】 羽毛球是速度较快的球类运动之一，运动员扣杀羽毛球的速度可达到342 km/h，假设球飞来的速度为90 km/h，运动员将球以342 km/h的速度反向击回。设羽毛球的质量为5 g，试求：
(1)运动员击球过程中羽毛球的动量变化量。
(2)在运动员的这次扣杀中，羽毛球的速度变化、动能变化各是多少？ 解析：(1)以球飞来的方向为正方向，则
90
p1＝mv1＝5×10－3× kg·m/s＝0.125 kg·m/s。
3.6342
p2＝mv2＝－5×10－3× kg·m/s＝－0.475 kg·m/s。
3.6
所以动量的变化量
Δp＝p2－p1＝－0.475 kg·m/s－0.125 kg·m/s ＝－0.600 kg·m/s。
即球的动量变化大小为0.600 kg·m/s，方向与球飞来的方向相反。 (2)羽毛球的初速度：v＝25 m/s， 羽毛球的末速度：v′＝－95 m/s， 所以Δv＝v′－v＝－120 m/s。
12
羽毛球的初动能：Ek＝mv＝1.56 J，
2
12
羽毛球的末动能：Ek′＝mv′＝22.56 J。
2
所以ΔEk＝Ek′－Ek ＝21 J。 答案：(1)0.600 kg·m/s 方向与球飞来的方向相反 (2)120 m/s 方向与初速度方向相反 21 J
析规律 动量是矢量 动量的变化量也是矢量，计算在同一直线上动量的变化量时，一定要注意正方向的规定。通常取初速度方向为正方向，代入数据计算时，切不可丢掉表示方向的正、负号。
(2)在p末与p初不共线的情况下，求Δp要用平行四边形定则。
在曲线运动中，初、末动量不在同一直线上，可以按照平行四边形定则或者三角形定则求Δp。如图所示，Δp就是由初动量箭头指向末动量箭头的有向线段。
【例2－2】 一个质量是0.2 kg的钢球，以2 m/s的速度斜射到坚硬的大理石板上，入射的角度是45°，碰撞后被斜着弹出，弹出的角度也是45°，速度大小仍为2 m/s，用作图法求出钢球动量变化的大小和方向。
解析：碰撞前后钢球不在同一直线上运动，根据平行四边形定则，以p′和－p为邻边作平行四边形，则Δp的大小就等于对角线的长度，对角线的指向就表示其方向，所以
Δp＝p′＋－p
22
＝0.4＋0.4 kg·m/s ＝0.42 kg·m/s 方向竖直向上。
答案：0.42 kg·m/s 竖直向上 3．冲量
(1)牛顿第二定律的动量表达式
ΔvΔpF＝ma＝m＝ ΔtΔt此式说明作用力F等于物体动量的变化率。
Δp即F＝是牛顿第二定律的另一种表达形式。
Δt(2)冲量的定义：力与力的作用时间的乘积叫做力的冲量。 (3)公式：I＝F·t。
(4)单位：牛·秒，符号：N·s。 (5)冲量的性质
①冲量的时间性：冲量不仅由力决定，还由力的作用时间决定，恒力的冲量等于力与力作用时间的乘积，可用I＝F·t表示。
②冲量的矢量性：对于具有恒定方向的力来说，冲量的方向与力的方向一致；对于作用
2
22时间内方向变化的力来说，冲量的方向与相应时间内动量的变化量的方向一致，冲量的运算遵守平行四边形定则。
③冲量的绝对性：由于力和时间都跟参考系的选择无关，所以力的冲量也跟参考系的选择无关。
④冲量的过程性：冲量是描述力对作用时间的累积效果，力越大，作用时间越长，冲量就越大。冲量是一个过程量，学习冲量必须明确研究对象和作用过程，即必须明确是哪个力在哪段时间内对哪个物体产生的冲量。
【例3】 以某一初速度竖直向上抛出一物体，空气阻力不可忽略。关于物体受到的冲量，以下说法正确的是( )
A．物体上升阶段和下落阶段受到的重力的冲量方向相反 B．物体上升阶段和下落阶段受到空气阻力冲量的方向相反
C．物体在下落阶段受到重力的冲量大于上升阶段受到重力的冲量 D．物体在下落阶段受到重力的冲量小于上升阶段受到重力的冲量 解析： 恒力的冲量的方向与该恒力方向相同，即上升、下落阶段重力的冲量方向相A × 同，均竖直向下。 B √ 物体上升阶段和下落阶段空气阻力方向相反，冲量方向相反。 C √ 由于空气阻力不可忽略，物体上升过程受到的合力大于下落过程的合力，物体上升的时间小于下落的时间，即下落阶段受到重力的冲量大于上升阶段受D × 到重力的冲量。 答案：BC 4.动量定理
(1)动量定理的内容：
物体所受合外力的冲量等于物体动量的变化。 (2)表达式：Ft＝mv′－mv或I＝p′－p
式中mv是物体初始状态的动量，mv′是力的作用结束时的末态动量。 动量定理反映了物体在受到力的冲量作用时，其状态发生变化的规律，是力在时间上的累积效果。
(3)动量定理的理解与应用要点：
①动量定理的表达式是一个矢量式，应用动量定理时需要规定正方向。
②动量定理公式中F是研究对象所受的包括重力在内的所有外力的合力，它可以是恒力，也可以是变力。当合外力为变力时，F应该是合外力在作用时间内的平均值。
③动量定理的研究对象是单个物体或系统。 ④动量定理中的冲量是合外力的冲量，而不是某一个力的冲量。在所研究的物理过程中，如果作用在物体上的各个外力的作用时间相同，求合外力的冲量时，可以先求所有外力的合力，然后再乘以力的作用时间，也可以先求每个外力在作用时间内的冲量，然后再求所有外力冲量的矢量和。如果作用在物体上各外力的作用时间不同，就只能先求每一个外力在其作用时间内的冲量，然后再求所有外力冲量的矢量和。
⑤动量定理中I是合外力的冲量，是使研究对象的动量发生变化的原因，并非产生动量的原因，不能认为合外力的冲量就是动量的变化。合外力的冲量是引起研究对象状态变化的外在因素，而动量的变化是合外力冲量作用后导致的必然结果。
⑥动量定理不仅适用于宏观物体的低速运动，对微观物体和高速运动仍然适用。 ⑦合外力的冲量是物体动量变化的量度。
【例4】 质量为0.5 kg的弹性小球，从1.25 m高处自由下落，与地板碰撞后回跳高
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度为0.8 m。设碰撞时间为0.1 s，g取10 m/s，求小球对地板的平均作用力。
解析：解法一：分段处理
取小球为研究对象，根据自由落体运动和竖直上抛运动可知，小球碰撞前的速度：v1
＝2gh1＝2×10×1.25 m/s＝5 m/s，方向向下；
小球碰撞后的速度：v2＝2gh2＝2×10×0.8 m/s＝4 m/s，方向向上。 小球受力情况如图所示，取竖直向上为正方向。
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