高考数学平面向量专题研究
姚围有
从历届高考来看，向量题往往已经成为浙江高考数学的点睛之笔。向量作为一种既有大小又有方向的量，同时兼具代数和几何双重身份，一方面，它可以将几何问题转化为坐标的代数运算，另一方面，又可以结合图形对向量的有关问题进行分析求解。因此，向量是重要而基本的数学概念之一，是高中数学的重点内容之一。几乎每年都是浙江省高考数学的热点，而且题目比较新颖独特，基本以压轴题的形式出现，对学生的要求比较高，重在考查学生的能力。
一、2017年浙江高考考试说明要求
1.1考试内容：
平面向量的基本概念，平面向量的线性运算及几何意义，平面向量的基本定理及坐标 表示，平面向量的数量积，平面向量的应用。 1.2考试要求：
1．理解平面向量及几何意义，理解零向量、向量的模、单位向量、向量相等、平行向 量、向量夹角的概念。
2．掌握向量加法、减法、数乘的概念，并理解其几何意义。
3．理解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决简单问题。 4．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。 5．掌握平面向量的加法、减法与数乘的坐标运算。
6．理解平面向量数量积的概念及其意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系。 7．掌握平面向量数量积的坐标运算，掌握数量积与两个向量的夹角之间的关系。 8．会用坐标表示平面向量的平行与垂直。 9．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。
二、说明研读，地位分析
从近几年的的浙江省数学高考真题来看，一般出现在选择、填空题的压轴题的位置。对于学生的能力要求较高，体现了 “在考查基础知识的同时，注重考查能力”的高考命题原则，凸显以能力立意命题的指导思想，又考查学生对数学思想方法的理解，试题以中、高档题为主，往往成为试题的亮点。作为新高考文理不分科后的首次高考，对于平面向量的考查仍然是高考的考查重点，仍然会以中、高档题为主，以选择题或填空题出现，但是可能题目
难度略低于理科难度，
三、考情分析，总结原因
3.1一模考试得失分情况分析
本次模拟试卷涉及平面向量考点有3道题，分别是选择题第7题，解答题第19题，第21题向量与解析几何的综合运用，具体各题得分情况如下： 题号 知识点 平均分 标准差 难度系数 杭州市一模 选择题第7题 解答题第19题 平面向量基本定理，三角形内心 向量的坐标运算，数量积运算，函数中的最值问题 3.2本届学生存在的问题
根据学生平时学习情况和本次一模考试的得分情况，在平面向量这块内容上， 我校学生主要存在以下问题：
（1）部分学生基础不扎实，对平面向量的基本概念、基础知识理解不够，如加减法的几何意义、向量模和夹角、投影等。如杭州市一模试题第21题中向量的加法PF1?PF2?2PO。 （2）平面向量的基本定理及其意义理解不够深刻，基底运算应用不够熟练。如一模题中第7题，设O是?ABC的内心，AB?c,AC?b,，若AO??1AB??2AC，则（ ）
9.52（满分15分） 3.41 0.63 2.04（满分4分） 2 0.51 ?1b?12b?1c2?12cA. ? B. 2? C. ?2 D. 2?
?2c?2c?2b?2b（3）向量运算几何转化意识不够，在向量运算过程中，学生不能够准确地挖掘向量运算的几何背景。
（4）由于平面向量题基本以中、高档题为主，导致学生对向量题目产生恐惧心理，遇到向量题目不愿意动手。
（5）向量与平面几何、函数、解析几何、不等式等其他知识的综合问题熟练程度不够，综合能力不够强。
三、高考试题分析
1.考查线性运算几何意义
例1.（08年理17）记max{x,y}?向量，则（ ）
A.min{|a?b|,|a?b|}?min{|a|,|b|} B.min{|a?b|,|a?b|}?min{|a|,|b|}
22C.max{|a?b|,a?b}?a?b D. max{|a?b|,a?b}?a?b
222222?x,x?y?y,x?ymin{x,y}?，，设a,b为平面???y,x?y?x,x?y分析：本题主要考查平面向量的线性运算中模长关系的比较，平行四边形中对角线长度与边长关系的联系。
解：a?b和a?b是以a、b为邻边的平行四边形的对角线
22a?b+a?b=2a+b22?22??a+b22?a?b+a?b222
?max{a?b,a?b}，可以得出答案选D.
2.平面向量与不等式综合考查
???????例3．（13年理17题）设e1、e2为单位向量，非零向量b?xe1?ye2，x、y?R.若e1、e2的夹角为
x?，则的最大值等于__________. 6b分析：该题表述简洁清晰，灵活考查了平面向量的基本定理、平面向量的坐标表示，平面向量的数量积、平面向量的几何意义等知识，渗透了多种数学思想方法。
解法一：直接求解 由题意得
b?x2?y2?3xy xb?x21??2 222x?y?3xyy?y??3?1??x?x??(1,0)，e2?(1,0)，则b?(x?当x?0时，
解法二：坐标法，设e1下同解法一。 解法三：判别式法
31y,y). 22