第一讲规律探究题的解题方法

初中数学规律探究题的解法指导

一、数式规律探究

1.一般地,常用字母n表示正整数,从1开始。 2.在数据中,分清奇偶,记住常用表达式。

正整数…n-1,n,n+1… 奇数…2n-3,2n-1,2n+1,2n+3… 偶数…2n-2,2n,2n+2… 3.熟记常见的规律

n(n?1)2n(n?1)n

③ 1、3、7、15……2 -1 ④ 1+2+3+4+…n=

2① 1、4、9、16...... n ② 1、3、6、10……

2

⑤ 1+3+5+…+(2n-1)= n⑦ 1+2+3….+n=

2

2

2

2

2

⑥ 2+4+6+…+2n=n(n+1)

1333312

n(n+1)(2n+1) ⑧ 1+2+3….+n=n(n+1) 64裂项:

1111++…+= 。

(2n?1)(2n?1)1?33?55?7解决此类问题常用的方法:

观察法

1、一组按规律排列的数字:1,3,5,7,9,11,13,15,…其中第13个数字是_______,第n个数字是______ (n为正整数)

2、一组按规律排列的数字:2,5,8,11,14,17,20,23,…其中第12个数字是_______,第n个数字是_______(n为正整数)

3、给定一列按规律排列的数:1,正整数)

4、一组按规律排列的单项式:a、?2a、3a、?4a,… 其中第5个式子是_______,第n个式子是_______(n为正整数),)第2007个式子是_______

b2b5b8b115、一组按规律排列的式子:?,2,?3,4,…(ab?0),其中第7个式子是_______,第n个式子是_______

aaaa

1

2341111,,,3579它的第10个数是______,第n个数字是_______(n为

6

7、观察下列等式:①1×

车票问题

112233=1- ②2×=2- ③3×=3- 223344④4×=4-……猜想第几个等式为 (用含n的式子表示) 8、探索规律:3=3,3=9,3=27,3=81,3=243,3=729……,那么3练习

1.观察下列等式:1×3=1+2×1;2×4=2+2×2;3×5=3+2×3……请将你猜想到的规律用含自然数n(n≥1)的代数式表示出来: 。

2.观察下列各式:×2=+2;×3=+3;×4=+4;×5=+5……设n为正整数,用关于n的等式表示这个规律为 。

3.已知:2+=2×;3+=3×;4+a+b= 。

4.已知下列等式:①1=1;②1+2=3;③1+2+3=6;④1+2+3+4=10…由此规律可推 出第n等式: 。

3

2

3

3

2

3

3

3

2

3

3

3

3

2

2

2

2

1

2

3

4

5

6

2009

4545的个位数字是 。

2121323243435454232

233824

38424525bb2

=4×;5+=5×…,若10+=10×符合前面式子的规律,则15152424aa5.观察下面一列数,按某种规律在横线上填上适当的数:

第n个数是

图像法

二、图形规律探究

解决思路有两种:一种是数图形,将图形转化为数字规律;另一种是通过图形的直观性,从图形中直接寻找规律,常用“拆图法”解决问题。

1、如图,由若干火柴棒摆成的正方形,第①图用了4根火柴,第②图用了7根火柴棒,第③图用了10根火柴棒,依次类推,第⑩图用 根火柴棒,摆第n个图时,要用 根火柴棒。

2

(1) (2)

(3)

2、按如下规律摆放三角形:则第④堆三角形的个数为 ;第(n)堆三角形的个数为 。

△ △ △ △ △ △ △△△ △ △

△△△△△ △△△△△△△△

3、所示的是一个三角形,分别连接这个三角形三边的中点得到图(2),再分别连接图(2)中间的小三角形三边的中点,得到图(3),按此方法继续连接,请你根据每个图中三角形的个数的规律完成下列问题.

(1)将下表填写完整;

图形编号 三角形个数 (1) 1 (2) 5 (3) 9 (4) (5) 在第n个图形中有 个三角形.(用含n的式子表示尝试练习:

4、将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放:第1个图形有6个小圆,第2个图形有10个小圆,第3个图形有16个小圆,第4个图形有24个小圆,……,依次规律,第6个图形有 个小圆.

第1个图形

5.观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律,则第5个大三角形中

第1个第2个第3个第2个图形 第3个图形 第4个图形

白色三角形有 个 .

练习

1.图(3)是用火柴棍摆成的边长分别是1,2,3 根火柴棍时的正方形.当边长为n根火柴棍时,设摆出的正方形所用的火柴棍的根数为s,则s= . (用n的代数式表示s)

2.用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖,按下图的方式铺地板,则第(3)个图形中有黑色瓷砖 __________块,第n个图形中需要黑色瓷砖__________块(用含n的代数式表示).

3.如图所示,把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上,按照这样的规律摆下去,则第n个图形需要黑色棋子的个数是 .

3

n=

n=

n=

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