经济数学---微积分教案
第五节 经济学中常用函数
教学目的：了解经济中常用函数的概念。结合经济现象理解需求函数、供给函数、成本函数、 收入函数、利润函数的概念.
教学重点：结合经济现象理解需求函数、供给函数、成本函数、收入函数、利润函数的概念. 教学难点：经济现象的理解. 教学内容：
一．需求函数与价格函数
一种商品的需求量Q与该种商品的价格p密切相关，如果不考虑其它因素的影响，则商品的需求量Q可看作价格p的函数。称为需求函数，记作Q?f(p)。
评注: （1）一般地，当商品的价格增加时，商品的需求量将会减少，因此，需求函数Q?f(p)是价格p的减少函数。如图
（2）在企业管理和经济中常见的需求函数有
线性需求函数： Q?a?bp，其中b?0,a?0均为常数；
二次需求函数： Q?a?bp?cp2，其中a?0,b?0,c?0均为常数； 指数需求函数： Q?Ae?bp，其中A?0,b?0均为常数； 幂函数需求函数：Q?AP??，其中A?0,??0均为常数。
二、供给函数
“供给量”是在一定价格水平下，生产者愿意出售并且有可供出售的商品量，如果不考虑价格以外的其它因素，则商品的供给量S是价格p的函数，记作S?S(p)。 评注:（1）一般地，供给量随价格的上升而增大，因此，供给函数S?S(p)是 价格p的单调增加函数。
（2）常见的供给函数有线性函数，二次函数，幂函数，指数函数等。
（3）如果市场上某种商品的需求量与供求量相等，则该商品市场处于平衡状 态，这时的商品价格P就是供、需平衡的价格，叫做均衡价格。Q就是均衡数量。 例1 :已知某商品的供给函数是S?24p?4，需求函数是Q?50?p，试求该商品处于市33场平衡状态下的均衡价格和均衡数量。
2?Q?p?4??3解: 令S?Q，解方程组? 得均衡价格P?27，均衡数量Q?14。
?Q?50?4p?3?1
山 东 女 子 学 院
经济数学---微积分教案
说明 供给函数S?24p?4与需求函数Q?50?p的图象交点的横坐标就是市场均衡价33格。高于这个价格，供大于求；低于这个价格，求大于供。
三、总成本函数
总成本是工厂生产一种产品所需费用的总和，它通常分为固定成本和变动成本两部分，固定成本指不受产量变化影响的成本，如厂房，机器设备的费用等，常用C1表示。可变成本指随产量变化而发生变化的成本，如原材料费，工人工资，包装费等，常用C2表示，它是产量q的函数，即C2?C2(q)。
生产q个单位某种产品时的可变成本C2与固定成本C1之和，成为总成本函数，记作C，即C?C(q)?C1?C2(q)。
评注:（1）总成本函数C(q)是产量q的单调增加函数。
（2）常见的成本函数有线性函数、二次函数、三次函数等。
（3）要评价企业的生产状况，还需要计算产品的平均成本，即生产q个单位产品时，单位产品的成本，记做C(q)，即C(q)?C(q)C(q)C1C2(q)?? ，其中2称为平均可变成本。 qqqq
例2: 生产某种商品的总成本（单位：元）是C(q)?500?4q，求生产50件这种商品的总成本和平均成本。
)解: 生产50件这种商品的总成本为 C(50?平均成本为A(50)?50?0?45?0（元）7；
C(q)qq?50?700?14（元 / 件） 。 50四、收益 (收入)函数与利润函数 1．收益函数
收益是指销售某种商品所获得的收益，又可分为总收益和平均收益。 总收益是销售者售出一定数量商品所得的全部收益，常用R表示。
平均收益是售出一定数量的商品时，平均每售出一个单位商品的收益，也就是销售一定数量商品时的单位商品的销售价格。常用R表示。 总收益和平均收益都是售出商品数量的函数。 设P为商品价格，q为商品的销售量，则有
R?R(q)?qP(q) ， R?R(q)?P(q) ，其中P(q)是商品的价格函数。 q2
山 东 女 子 学 院
经济数学---微积分教案
例3 :设某商品的价格函数是P?50?总收入和平均收入。
解 : 收入函数为 R?Pq?50q?平均收入为 R?1q，试求该商品的收入函数，并求出10件商品时的512q； 5R1?P?50?q； q5152销售10件商品时的总收入和平均收入分别为 R(10)?50?10??10?480，
1R(10)?50??10?48。
52．利润函数
总利润指生产一定数量的产品的总收入与总成本之差，记做L，即
L?L(q)?R(?q)q是产品数量。 C(，其中q)平均利润记做L?L(q)?L(q)。 q例4:已知生产某种商品q件时的总成本（单位：万元）为C(q)?10?6q?0.1q2如果该商品的销售单价为9万元，试求： （1） 该商品的利润函数；
（2） 生产10件该商品时的总利润和平均利润； （3） 生产30件该商品时的总利润。
解:（1）该商品的收入函数为 R(q)?9q， 得到利润函数为
L(q)?R(q)?C(q)?3q?10?0.1q2
（2）生产10件该商品时的总利润为 L(10)?3?10?10?0.1?10?10（万元）， 此时的平均利润为 L?2L(10)10??1（万元 / 件） 10102（3）生产30件该商品时的总利润为 L(30)?3?30?10?0.1?30??10（万元） 评注: 一般地，收入随着销售量的增加而增加，但利润并不总是随销售量的增加而增加。
它可出现三种情况
（1） 如果L(q)?R(q)?C(q)?0，则生产处于盈利状态； （2） 如果L(q)?R(q)?C(q)?0，则生产处于亏损状态；
（3） 如果L(q)?R(q)?C(q)=0，则生产处于保本状态。此时的产量q0称为无盈亏点。 例5: 已知某商品的成本函数为C?12?3q?q，若销售单价定为11元 / 件，试求：
3
2山 东 女 子 学 院