行列式的定义及性质

行列式的定义及性质

（张俊敏）

? 教学目标与要求

通过学习，使学生理解n阶行列式的定义，熟练掌握二、三阶行列式性质，能运用性质求行列式的值。

? 教学重点与难点

教学重点：n阶行列式的定义及性质。 教学难点：n阶行列式定义的理解。

? 教学方法与建议

通过复习高中时所学过的二阶与三阶行列式，了解行列式及其应用，在此基础上引出一般意义上的n阶行列式定义。要特别指出：行列式是一种运算，其结果是一个数；其意义在于在由数组成的形式（方阵）与数域之间建立了一种联系，使得我们可以通过数来研究形式的东西，同时可以通过形式的东西来研究与数有关的问题。

? 教学过程设计

1.问题的提出

求解二、三元线性方程组

引出 二阶、三阶行列式

?ax?a12x2?b1（二元线性方程组?111，当a11a22?a12a21?0时，可用消元法求得解为：

ax?ax?b2222?211x1?b1a22?a12b2?a11a22?a12a21a11a21b1b2a12a22a12a22

x2?a11b2?b1a21）二阶与三阶行列式 ?a11a22?a12a21a11a12b2a22a11b1a21a221. 二阶行列式：（回顾高中时的二阶与三阶行列式）

det(A)?a11a12?a11a22?a12a21，其中A为方程组的系数矩阵。

a21a22a12a22a32a13a23?a11a332. 三阶行列式：

a11

a21a31a22a32a23a?a1221a33a31a23a?a1321a33a31a22 a32注：（1）这是把三阶行列式转化为比它低一阶的二阶行列式进行的计算。三阶行列式算出来也是一个数。

(2)三阶行列式 也是方形矩阵上定义的一种运算。

2. n阶行列式的定义：

a11a21an1a12a22an2a21?(?1)1?na1nan1an2an,n?1a22a1na2nanna22?a11an2a2,n?1an3anna23a2n?a12an1an3anna21a23a2n?D? n阶行列式中去掉元素aij所在行所在列的元素后，得到的n?1阶行列式叫做aija11的余子式，记作Mij，即M?ija1,j?1ai?1,j?1ai?1,j?1an,j?1a1,j?1ai?1,j?1ai?1,j?1an,j?1a1nan?1,nai?1,nann

ai?1,1ai?1,1an1并称Dij?(?1)i?jMij为aij的代数余子式。引入这两个记号则可将(2.4)式简记为

detA?a11M11?a12M12??(?1)an1Mn1??(?1)ak1Mk1 （2.5）

1?nk?1n1?k或detA?a11D11?a12D12??a1nD1n??a1kD1k （2.6）

k?1n式（2.4）（2.5）和（2.6）统称为n阶行列式按第一行的展开式。 注：1 记一阶行列式a?a，但注意不要将其与绝对值概念混淆。

2一些特殊的行列式（下三角行列式，上三角行列式，对角型行列式） a11a21?an10a22?an2a110?0

????ann0?0a12a22?0?a1n?1?1?a2n?2?2

?????n?n?ann其中一类很好求值的行列式——上三角行列式。 例1

（1）

a11a210a2200anna22?a11an2ann??a11a22ann

an1an2?1（2）

?2?n??1?2?n

3.行列式的性质

行列式运算从本质上讲，是由数组成的一种形式上定义的运算，但随着形式的改变，行列式的值有那些变化呢？下面性质就解决了这些问题。

性质1 行列式与它的转置行列式相等。

注 性质1表明行列式中行与列具有同等的地位，也就是说：行列式对行成立的性质，对列也同样成立，反之亦然。

性质2 互换行列式的两行(列)，行列式变号。

推论 若行列式中有两行元素完全相同，则行列式为零。

性质3 用数 k 乘行列式某一行中所有元素，等于用数 k 乘此行列式。 换句话叙述此性质即是

推论 某一行所有元素的公因子可提到行列式符号的外面。 性质4 若行列式中有两行元素对应成比例，则行列式为零。

性质5 若行列式某行的元素是两数之和，则行列式可拆成两个行列式的和。