第2讲 不等式与线性规划
考情解读 1．在高考中主要考查利用不等式的性质进行两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题．基本不等式主要考查求最值问题，线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围问题.
2．多与集合、函数等知识交汇命题，以选择、填空题的形式呈现，属中档题．
?a>0，?
（1）ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的条件是?
?Δ<0.???a<0，
（2）ax＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件是?
?Δ<0.?
2
热点一 一元二次不等式的解法
1??
例1 （1）(2013·安徽)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为?x|x<－1或x>2?，则f(10x)>0的解集为( )
?
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1．四类不等式的解法 （1）一元二次不等式的解法
先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． （2）简单分式不等式的解法
f?x?f?x?
①变形?>0(<0)?f(x)g(x)>0(<0)；②变形?≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
g?x?g?x?（3）简单指数不等式的解法
①当a>1时，af(x)>ag(x)?f(x)>g(x)；②当0 ①当a>1时，logaf(x)>logag(x)?f(x)>g(x)且f(x)>0，g(x)>0； ②当0 （3）≥ab(a>0，b>0)． 2a＋b2 （4）ab≤()(a，b?R． 2（5）a＋ba＋b2ab ≥≥ab≥(a>0，b>0)． 22a＋b 222 A．{x|x<－1或x>－lg 2} B．{x|－1 （2）已知函数f(x)＝(x－2)(ax＋b)为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，则f(2－x)>0的解集为( ) A．{x|x>2或x<－2} C．{x|x<0或x>4} B．{x|－2 思维启迪 (1)利用换元思想，设10x＝t，先解f(t)>0.(2)利用f(x)是偶函数求b，再解f(2－x)>0. 思维升华 二次函数、二次不等式是高中数学的基础知识，也是高考的热点，“三个二次”的相互转化体现了转化与化归的数学思想方法． x－1 （1）不等式≤0的解集为( ) 2x＋1 11 A．(－，1] B．[－，1] 22 11 C．(－∞，－)∪[1，＋∞) D．(－∞，－]∪[1，＋∞) 22 （2）已知p：?x0?R，mx2q：?x ?R，x2＋mx＋1>0.若p∧q为真命题，则实数m的取值范围是( ) 0＋1≤0，A．(－∞，－2) C．(－2,0) 热点二 基本不等式的应用 例2 （1）(2014·湖北)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有76 000v 关，其公式为F＝2. v＋18v＋20l ①如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/时； ②如果限定车型，l＝5，则最大车流量比①中的最大车流量增加________辆/时． xy212 （2）(2013·山东)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为( ) zxyz B．[－2,0) D．[0,2] 3．二元一次不等式(组)和简单的线性规划 （1）线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等． （2）解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：①画出可行域；②根据线性目标函数的几何意义确定最优解；③求出目标函数的最大值或者最小值． 4．两个常用结论 - 1 - 9 A．0 B．1 C． D．3 4 xy 思维启迪 (1)把所给l值代入，分子分母同除以v，构造基本不等式的形式求最值；(2)关键是寻找取得最大 z值时的条件． 思维升华 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误． xy （1）若点A(m，n)在第一象限，且在直线＋＝1上，则mn的最大值为________． 34 2 （2）已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为( ) x－a35 A．1 B． C．2 D． 22热点三 简单的线性规划问题 例3 (2013·湖北)某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为( ) A．31 200元 B．36 000元 C．36 800元 D．38 400元 思维启迪 通过设变量将实际问题转化为线性规划问题． 思维升华 (1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围．(2)解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，利用数形结合找到目标函数的最优解．(3)对于应用问题，要准确地设出变量，确定可行域和目标函数． x>0??y＋1 （1）已知实数x，y满足约束条件?4x＋3y≤4，则w＝的最小值是( ) x ??y≥0 A．－2 B．2 C．－1 D．1 2x－y＋1>0，?? （2）(2013·北京)设关于x、y的不等式组?x＋m<0， ??y－m>0＝2，求得m的取值范围是( ) 4125 －∞，? B．?－∞，? C．?－∞，－? D．?－∞，－? A．?3?3?3?3????? 1．几类不等式的解法 一元二次不等式解集的端点值是相应一元二次方程的根，也是相应的二次函数图象与x轴交点的横坐标， 即二次函数的零点；分式不等式可转化为整式不等式(组)来解；以函数为背景的不等式可利用函数的单调性进行转化． 2．基本不等式的作用 二元基本不等式具有将“积式”转化为“和式”或将“和式”转化为“积式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式或求函数的最值或解决不等式恒成立问题．解决问题的关键是弄清分式代数式、函数解析式、不等式的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点，并创造基本不等式的应用背景，如通过“代换”、“拆项”、“凑项”等技巧，改变原式的结构使其具备基本不等式的应用条件．利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的条件，三个条件缺一不可． 3．线性规划问题的基本步骤 （1）定域——画出不等式(组)所表示的平面区域，注意平面区域的边界与不等式中的不等号的对应； （2）平移——画出目标函数等于0时所表示的直线l，平行移动直线，让其与平面区域有公共点，根据目标函数的几何意义确定最优解，注意要熟练把握最常见的几类目标函数的几何意义； （3）求值——利用直线方程构成的方程组求解最优解的坐标，代入目标函数，求出最值. 真题感悟 1．(2014·山东)已知实数x，y满足ax A.2>2 x＋1y＋1C．sin x>sin y B．ln(x2＋1)>ln(y2＋1) D．x3>y3 x＋2y－4≤0，?? 2．(2014·浙江)当实数x，y满足?x－y－1≤0， ??x≥13 D 2．[1，] A 2．6 2 时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是________． 押题精练 1．为了迎接2014年3月8日的到来，某商场举行了促销活动，经测算某产品的销售量P万件(生产量与销售2 量相等)与促销费用x万元满足P＝3－，已知生产该产品还需投入成本(10＋2P)万元(不含促销费用)，产品 x＋120 的销售价格定为(4＋)万元/万件．则促销费用投入 万元时，厂家的利润最大？( ) PA．1 B．1.5 C．2 D．3 表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0 - 2 - 2．若点 ? P(x，y)满足线性约束条件?x－3y＋2≥0， ?y≥0， 3x－y≤0， ＋4)≤0的解集． →→ 点A(3，3)，O为坐标原点，则OA·OP的最大值为 （1）求A∩B； （2）若C??RA，求a的取值范围． 1 10．已知函数f(x)＝ax3－bx2＋(2－b)x＋1在x＝x1处取得极大值，在x＝x2处取得极小值，且0 3（1）证明：a>0； （2）若z＝a＋2b，求z的取值范围． ________． (推荐时间：50分钟) 一、选择题 1．(2014·四川)若a>b>0，c cdcddcdc2．下列不等式一定成立的是( ) 11x2＋?>lg x(x>0) B．sin x＋A．lg?≥2(x≠kπ，k∈Z) 4??sin xC．x2＋1≥2|x|(x?R) D． 1 >1(x?R) x＋1 22 11．某工厂生产某种产品，每日的成本C(单位：万元)与日产量x(单位：吨)满足函数关系式C＝3＋x，每日的k??3x＋x－8＋5，0 销售额S(单位：万元)与日产量x的函数关系式S＝?已知每日的利润L＝S－C，且当 ??14，x≥6.x＝2时，L＝3. （1）求k的值； （2）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值． 3．(2013·重庆)关于x的不等式x－2ax－8a<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a等于( ) 571515 A． B． C． D． 2242 4．(2014·重庆)若log4(3a＋4b)＝log2ab，则a＋b的最小值是( ) A．6＋23 B．7＋23 C．6＋43 D．7＋43 x＋y－5≤0?? 5．已知变量x，y满足约束条件?x－2y＋1≤0 ??x－1≥0A．9 B．8 C．7 D．6 二、填空题 6．已知f(x)是R上的减函数，A(3，－1)，B(0,1)是其图象上两点，则不等式|f(1＋ln x)|<1的解集是________． x－y≤0，?? 7．若x，y满足条件?x＋y≥0， ??y≤a， 2 ，则z＝x＋2y－1的最大值为( ) 且z＝2x＋3y的最大值是5，则实数a的值为________． 11 8．若点A(1,1)在直线2mx＋ny－2＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为________． mn三、解答题 9．设集合A为函数y＝ln(－x2－2x＋8)的定义域，集合B为函数y＝x＋ 11 的值域，集合C为不等式(ax－)(x ax＋1 - 3 -