2010-2011-2线性代数试卷及答案

东 北 大 学 考 试 试 卷(A卷) …总分 一 二 三 四 五 六 学 院 … … 2010 — 2011学年 第二学期

… … 课程名称:线性代数 (共2页)

班 级 ○┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ … …学 号 …… …密姓 名 …… …… …○… …… … …封……………○…………线……………………… ……… 一、 (15分) 设三阶矩阵A???1,?2,?3?, B??2?1??2?3?3,3?2??3,4?3?, 且A的行列式|A|?1,求矩阵B的行列式|B|. ?解 因为B??2??200??1??2?3?3,3?2??3,4?3?=(?1,?2,?3)?130?, ???314??200所以,|B|?|A|130?24

?314?121二、 (20分) 设向量组????1???,????????1??2??1?,?3??2?线性相关,向量 ??2????1????a???3?????1??可由向量组?1,?2,?3线性表示,求a,b的值。

??b??解 由于

?1213??1213??1213?(???1121?????0334?????0334?1,2,?3,?)????

??21ab????0?3a?2b?6????00a?1b?2??所以,a??1,b?2. 三 (15分) 证明所有二阶实对称矩阵组成的集合V是R2?

2

的子空间,试在

V上定义内积运算,使V成为欧几里得空间,并给出V的一组正交基.

解 由于任意两个二阶实对称矩阵的和还是二阶实对称矩阵,数乘二阶实对称矩阵还是二阶实对称矩阵,即V对线性运算封闭,所以V是R2?

2

的子空间。 对任意A???a?11a12???b?a,B??11b12???V,定义内积:[A,B]=a11b11?a12b12?a22b22, 12a22????b12b22??显然满足:[A,B]=[B,A], [kA,B]=k[A,B], [A,A]≥0且[A,A]=0当且仅当A=0. A?10??1????00???,A2??01???10???,A3???00???01???就是V的一组正交基.

注:内积和正交基都是不唯一的.

2-1

?111?四、 (20分) 已知三阶矩阵A的伴随矩阵A*???222??,求齐次线性方程

??333??组Ax?0的通解.

解 由于A*?0,且R(A*)?1得R(A)=2,所以,Ax?0的解空间是1维的。

又由于AA*?|A|E?0,所以,A*的列向量是Ax?0的解。 于是,(1,2,3)T是Ax?0的基础解系,所以,通解为:

?x?k?1??2??,k?R

??3??五、 (15分) 设三阶实对称矩阵A满足A2?2A,且向量??(1,?1,0)T是齐次方程Ax?0的一个基础解系,求矩阵A。

解 由Ax?0的基础解系含一个解知A的秩为2。

由A2?2A知A的特征值只能为2或0,所以,A的三个特征值为:2,2,0。 由A??0知?是属于特征值0的特征向量。 所以,A的属于特征值2的特征向量必与?正交,所以,特征值2的特征向量可取为:

?T1?(1,1,0)和?2?(0,0,1)T,

??101?

?22? 于是,可构造正交矩阵:Q??1 ?0?1???? ??02102? ???? 满足:QTAQ?? 所以,

??1?01?1 0?? A?Q?QT??122???2??1?0?1???2??2???2021?????110??110?? ??0210????0?0???1?1??0?? ????22?002???? 2-2

六、 (15分) 某仓库有A,B,C三种物品若干件,现按下述方案进行采购:购进原B物品件数30%和原C物品件数50%的A物品;购进原A物品件数30%的B物品;购进原B物品件数60%的C物品。试建立采购前后仓库A,B,C三种物品件数间的关系式。若采购后仓库A,B,C三种物品件数分别为290,330,380,求采购前仓库A,B,C三种物品的件数。

解 记采购前仓库A,B,C三种物品件数分别为:x0,y0,z0,采购后仓库A,B,C三种物品件数分别为:x1,y1,z1,则由已知有:

??x1?x0?0.3y0?0.5z0?x1??10.?y?0.3???30.5????x0???1x0?y0 即:?y1???0.310??y0? ?z1?0.6y0?z0??z1????00.61????z0??所以,若x1?290,y1?330,z1?380时,有

??1?x0??1?y??0.30.5??290?0???0.310?????330?? ?z0????00.61????380???0?0.5??290???1??0.310.15????330?????100??300?? ??0.18?0.60.91????380????200??即采购前仓库A,B,C三种物品的件数分别为100,300, 200.

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