东 北 大 学 考 试 试 卷（A卷） …总分 一 二 三 四 五 六 学 院 … … 2010 — 2011学年 第二学期
… … 课程名称：线性代数 （共2页）
班 级 ○┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ … …学 号 …… …密姓 名 …… …… …○… …… … …封……………○…………线……………………… ……… 一、 (15分) 设三阶矩阵A???1,?2,?3?， B??2?1??2?3?3,3?2??3,4?3?， 且A的行列式|A|?1，求矩阵B的行列式|B|. ?解 因为B??2??200??1??2?3?3,3?2??3,4?3?＝(?1,?2,?3)?130?， ???314??200所以，|B|?|A|130?24
?314?121二、 (20分) 设向量组????1???，????????1??2??1?，?3??2?线性相关，向量 ??2????1????a???3?????1??可由向量组?1,?2,?3线性表示，求a,b的值。
??b??解 由于
?1213??1213??1213?(???1121?????0334?????0334?1,2,?3,?)????
??21ab????0?3a?2b?6????00a?1b?2??所以，a??1,b?2. 三 (15分) 证明所有二阶实对称矩阵组成的集合V是R2?
2
的子空间，试在
V上定义内积运算，使V成为欧几里得空间，并给出V的一组正交基.
解 由于任意两个二阶实对称矩阵的和还是二阶实对称矩阵，数乘二阶实对称矩阵还是二阶实对称矩阵，即V对线性运算封闭，所以V是R2?
2
的子空间。 对任意A???a?11a12???b?a,B??11b12???V,定义内积：[A,B]=a11b11?a12b12?a22b22， 12a22????b12b22??显然满足：[A,B]=[B,A], [kA,B]=k[A,B], [A,A]≥0且[A,A]=0当且仅当A=0. A?10??1????00???,A2??01???10???,A3???00???01???就是V的一组正交基.
注：内积和正交基都是不唯一的.
2－1
?111?四、 (20分) 已知三阶矩阵A的伴随矩阵A*???222??,求齐次线性方程
??333??组Ax?0的通解.
解 由于A*?0,且R(A*)?1得R(A)=2,所以，Ax?0的解空间是1维的。
又由于AA*?|A|E?0,所以，A*的列向量是Ax?0的解。 于是，（1,2,3）T是Ax?0的基础解系，所以，通解为：
?x?k?1??2??,k?R
??3??五、 (15分) 设三阶实对称矩阵A满足A2?2A，且向量??(1,?1,0)T是齐次方程Ax?0的一个基础解系，求矩阵A。
解 由Ax?0的基础解系含一个解知A的秩为2。
由A2?2A知A的特征值只能为2或0，所以，A的三个特征值为：2，2，0。 由A??0知?是属于特征值0的特征向量。 所以，A的属于特征值2的特征向量必与?正交，所以，特征值2的特征向量可取为：
?T1?(1,1,0)和?2?(0,0,1)T,
??101?
?22? 于是，可构造正交矩阵：Q??1 ?0?1???? ??02102? ???? 满足：QTAQ?? 所以，
??1?01?1 0?? A?Q?QT??122???2??1?0?1???2??2???2021?????110??110?? ??0210????0?0???1?1??0?? ????22?002???? 2-2
六、 （15分） 某仓库有A,B,C三种物品若干件，现按下述方案进行采购：购进原B物品件数30%和原C物品件数50%的A物品；购进原A物品件数30%的B物品；购进原B物品件数60%的C物品。试建立采购前后仓库A,B,C三种物品件数间的关系式。若采购后仓库A,B,C三种物品件数分别为290，330，380，求采购前仓库A,B,C三种物品的件数。
解 记采购前仓库A,B,C三种物品件数分别为：x0,y0,z0，采购后仓库A,B,C三种物品件数分别为：x1,y1,z1，则由已知有：
??x1?x0?0.3y0?0.5z0?x1??10.?y?0.3???30.5????x0???1x0?y0 即：?y1???0.310??y0? ?z1?0.6y0?z0??z1????00.61????z0??所以，若x1?290,y1?330,z1?380时，有
??1?x0??1?y??0.30.5??290?0???0.310?????330?? ?z0????00.61????380???0?0.5??290???1??0.310.15????330?????100??300?? ??0.18?0.60.91????380????200??即采购前仓库A,B,C三种物品的件数分别为100，300, 200.