第1讲 变化率与导数、导数的运算
【2013年高考会这样考】
1．利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程． 2．考查导数的有关计算，尤其是简单的函数求导． 【复习指导】
本讲复习时，应充分利用具体实际情景，理解导数的意义及几何意义，应能灵活运用导数公式及导数运算法则进行某些函数求导.
基础梳理
1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率 函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为
fx2－fx1
. x2－x1
Δy若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为. Δx2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 (1)定义
Δy→0 ＝ 称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率liΔxm
Δx→0 liΔxm
fx0＋Δx－fx0
为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|xΔxΔy→0 . ＝x0，即f′(x0)＝liΔxm
Δx(2)几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 3．函数f(x)的导函数 →0 称函数f′(x)＝liΔxm
fx＋Δx－fx为f(x)的导函数，导函数有时也记作y′.
Δx4．基本初等函数的导数公式 若f(x)＝c，则f′(x)＝0； 若f(x)＝x(α∈R)，则f′(x)＝αxα
α－1
；
若f(x)＝sin x，则f′(x)＝cos x； 若f(x)＝cos x，则f′(x)＝－sin x；
若f(x)＝a(a>0，且a≠1)，则f′(x)＝aln_a；
xx若f(x)＝e，则f′(x)＝e；
若f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，则f′(x)＝1
若f(x)＝ln x，则f′(x)＝. 1
； xln axxx5．导数四则运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)?
?fx?′＝f??gx?
xgx－fxg2
[gxx (g(x)≠0)．
6．复合函数的求导法则
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′.
一个区别
曲线y＝f(x)“在”点P(x0，y0)处的切线与“过”点P(x0，y0)的切线的区别：
曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，若切线斜率存在时，切线斜率为k＝
f′(x0)，是唯一的一条切线；曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 两种法则
(1)导数的四则运算法则． (2)复合函数的求导法则． 三个防范
1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 2．要正确理解直线与曲线相切和直线与曲线只有一个交点的区别． 3．正确分解复合函数的结构，由外向内逐层求导，做到不重不漏．
双基自测
1．下列求导过程中
11?1??ln x?′＝
①??′＝－2；②(x)′＝；③(logax)′＝??x?x??ln a?2x1xxxln axln ax；④(a)′＝(eln a)′＝(e)′＝eln a＝aln a xln a其中正确的个数是( )． A．1 B．2 C．3 D．4 答案 D
2．(人教A版教材习题改编)函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)的导数为( )．
2
A．2(x－a) B．2(x＋a) C．3(x－a) D．3(x＋a)
解析 f′(x)＝(x－a)＋(x＋2a)[2(x－a)]＝3(x－a)． 答案 C
sin x1?π?3．(2011·湖南)曲线y＝－在点M?，0?处的切线的斜率为( )． sin x＋cos x2?4?1122
A．－ B. C．－ D.
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解析 本小题考查导数的运算、导数的几何意义，考查运算求解能力．
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y′＝
cos xx＋cos x－sin xx＋cos xx－sin x2
1π＝，把x＝代入得导数1＋sin 2x4
1
值为.
2答案 B
4．(2011·江西)若f(x)＝x－2x－4ln x，则f′(x)＞0的解集为( )． A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－1,0) 4
解析 令f′(x)＝2x－2－＝
2
x－
xx＋
x＞0，利用数轴标根法可解得－1＜x＜0
或x＞2，又x＞0，所以x＞2.故选C. 答案 C
5．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，→0 则f(f(0))＝______；liΔxm
f＋Δx－fΔx＝________(用数字作答)．
答案 2 －2
考向一 导数的定义
【例1】?利用导数的定义求函数f(x)＝x在x＝x0处的导数，并求曲线f(x)＝x在x＝x0处切线与曲线f(x)＝x的交点．
[审题视点] 正确理解导数的定义是求解的关键．
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